Algebra Beispiele

$\frac{m - 3 n}{m^{3} - n^{3}} - \frac{2 n}{n^{3} - m^{3}}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = m$ und $b = n$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{n^{3} - m^{3}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = n$ und $b = m$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{(n - m) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $n$ heraus.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{(- 1 (- n) - m) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- m$ heraus.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{(- 1 (- n) - (m)) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- n) - (m)$ heraus.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{- 1 (- n + m) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Schritt 2.4

Stelle um.

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Schritt 2.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Schritt 3

Um $\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n) \cdot - 1$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(m - 3 n) \cdot - 1}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n) \cdot - 1} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren von $(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n) \cdot - 1$ um.

$\frac{(m - 3 n) \cdot - 1}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(m - 3 n) \cdot - 1 - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{m \cdot - 1 - 3 n \cdot - 1 - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Schritt 6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $m$ .

$\frac{- 1 \cdot m - 3 n \cdot - 1 - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{- 1 \cdot m + 3 n - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Schritt 6.4

Schreibe $- 1 m$ als $- m$ um.

$\frac{- m + 3 n - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Schritt 6.5

Subtrahiere $2 n$ von $3 n$ .

$\frac{- m + n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- m + n$ und $m - n$ .

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- m$ heraus.

$\frac{- (m) + n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $n$ heraus.

$\frac{- (m) - 1 (- n)}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (m) - 1 (- n)$ heraus.

$\frac{- (m - n)}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $- (m - n)$ als $- 1 (m - n)$ um.

$\frac{- 1 (m - n)}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Schritt 7.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (m - n)}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Schritt 7.1.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{- (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Schritt 7.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{1}{m^{2} + n^{2} + m n}$