Algebra Beispiele

${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 25$ $x - y^{2} = - 4$

Schritt 1

Addiere $y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4 + y^{2}$

${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 25$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 4 + y^{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 25$ durch $- 4 + y^{2}$ .

${((- 4 + y^{2}) - 1)}^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${((- 4 + y^{2}) - 1)}^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

${(y^{2} - 5)}^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Schreibe ${(y^{2} - 5)}^{2}$ als $(y^{2} - 5) (y^{2} - 5)$ um.

$(y^{2} - 5) (y^{2} - 5) + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere $(y^{2} - 5) (y^{2} - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} (y^{2} - 5) - 5 (y^{2} - 5) + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot - 5 - 5 (y^{2} - 5) + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot - 5 - 5 y^{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

$y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot - 5 - 5 y^{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.4.1.1

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.4.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{2 + 2} + y^{2} \cdot - 5 - 5 y^{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$y^{4} + y^{2} \cdot - 5 - 5 y^{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

$y^{4} + y^{2} \cdot - 5 - 5 y^{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$y^{4} - 5 \cdot y^{2} - 5 y^{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$y^{4} - 5 y^{2} - 5 y^{2} + 25 + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

$y^{4} - 5 y^{2} - 5 y^{2} + 25 + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Subtrahiere $5 y^{2}$ von $- 5 y^{2}$ .

$y^{4} - 10 y^{2} + 25 + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

$y^{4} - 10 y^{2} + 25 + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

$y^{4} - 10 y^{2} + 25 + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $- 10 y^{2}$ und $y^{2}$ .

$y^{4} - 9 y^{2} + 25 = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

$y^{4} - 9 y^{2} + 25 = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

$y^{4} - 9 y^{2} + 25 = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

$y^{4} - 9 y^{2} + 25 = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3

Löse in $y^{4} - 9 y^{2} + 25 = 25$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $u = y^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 9 u + 25 = 25$

$u = y^{2}$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} - 9 u + 25 - 25 = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $u^{2} - 9 u + 25 - 25$ .

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $25$ von $25$ .

$u^{2} - 9 u + 0 = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.3.2

Addiere $u^{2} - 9 u$ und $0$ .

$u^{2} - 9 u = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

$u^{2} - 9 u = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $u$ aus $u^{2} - 9 u$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$u \cdot u - 9 u = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $u$ aus $- 9 u$ heraus.

$u \cdot u + u \cdot - 9 = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u + u \cdot - 9$ heraus.

$u (u - 9) = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

$u (u - 9) = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$u - 9 = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.6

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.7

Setze $u - 9$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $u - 9$ gleich $0$ .

$u - 9 = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.7.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 9$

$x = - 4 + y^{2}$

$u = 9$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $u (u - 9) = 0$ wahr machen.

$u = 0, 9$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.9

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = y^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$y^{2} = 0$

$y^{2} = 9$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.10

Löse die erste Gleichung nach $y$ auf.

$y^{2} = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.11

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 3.11.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{0}$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.11.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.11.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.11.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 0$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.11.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$y = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

$y = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

$y = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.12

Löse die zweite Gleichung nach $y$ auf.

$y^{2} = 9$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.13

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 3.13.1

Entferne die Klammern.

$y^{2} = 9$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.13.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{9}$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.13.3

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 3.13.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{3^{2}}$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.13.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 3$

$x = - 4 + y^{2}$

$y = \pm 3$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.13.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.13.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = 3$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.13.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - 3$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.13.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 3, - 3$

$x = - 4 + y^{2}$

$y = 3, - 3$

$x = - 4 + y^{2}$

$y = 3, - 3$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 3.14

Die Lösung von $y^{4} - 9 y^{2} + 25 = 25$ ist $y = 0, 3, - 3$ .

$y = 0, 3, - 3$

$x = - 4 + y^{2}$

$y = 0, 3, - 3$

$x = - 4 + y^{2}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = - 4 + y^{2}$ durch $0$ .

$x = - 4 + {(0)}^{2}$

$y = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 4 + {(0)}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = - 4 + 0$

$y = 0$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $- 4$ und $0$ .

$x = - 4$

$y = 0$

$x = - 4$

$y = 0$

$x = - 4$

$y = 0$

$x = - 4$

$y = 0$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = - 4 + y^{2}$ durch $3$ .

$x = - 4 + {(3)}^{2}$

$y = 3$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- 4 + {(3)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = - 4 + 9$

$y = 3$

Schritt 5.2.1.2

Addiere $- 4$ und $9$ .

$x = 5$

$y = 3$

$x = 5$

$y = 3$

$x = 5$

$y = 3$

$x = 5$

$y = 3$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $y$ in $x = - 4 + y^{2}$ durch $0$ .

$x = - 4 + {(0)}^{2}$

$y = 0$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $- 4 + {(0)}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = - 4 + 0$

$y = 0$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $- 4$ und $0$ .

$x = - 4$

$y = 0$

$x = - 4$

$y = 0$

$x = - 4$

$y = 0$

$x = - 4$

$y = 0$

Schritt 7

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 7.1

Ersetze alle $y$ in $x = - 4 + y^{2}$ durch $3$ .

$x = - 4 + {(3)}^{2}$

$y = 3$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache $- 4 + {(3)}^{2}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = - 4 + 9$

$y = 3$

Schritt 7.2.1.2

Addiere $- 4$ und $9$ .

$x = 5$

$y = 3$

$x = 5$

$y = 3$

$x = 5$

$y = 3$

$x = 5$

$y = 3$

Schritt 8

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 8.1

Ersetze alle $y$ in $x = - 4 + y^{2}$ durch $- 3$ .

$x = - 4 + {(- 3)}^{2}$

$y = - 3$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache $- 4 + {(- 3)}^{2}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = - 4 + 9$

$y = - 3$

Schritt 8.2.1.2

Addiere $- 4$ und $9$ .

$x = 5$

$y = - 3$

$x = 5$

$y = - 3$

$x = 5$

$y = - 3$

$x = 5$

$y = - 3$

Schritt 9

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 4, 0)$

$(5, 3)$

$(5, - 3)$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- 4, 0), (5, 3), (5, - 3)$

Gleichungsform:

$x = - 4, y = 0$

$x = 5, y = 3$

$x = 5, y = - 3$

Schritt 11