Algebra Beispiele

$x + y = 11$ $4 x^{2} - 3 y^{2} = 8$

Schritt 1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 11 - y$

$4 x^{2} - 3 y^{2} = 8$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $11 - y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $4 x^{2} - 3 y^{2} = 8$ durch $11 - y$ .

$4 {(11 - y)}^{2} - 3 y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $4 {(11 - y)}^{2} - 3 y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe ${(11 - y)}^{2}$ als $(11 - y) (11 - y)$ um.

$4 ((11 - y) (11 - y)) - 3 y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $(11 - y) (11 - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (11 (11 - y) - y (11 - y)) - 3 y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (11 \cdot 11 + 11 (- y) - y (11 - y)) - 3 y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (11 \cdot 11 + 11 (- y) - y \cdot 11 - y (- y)) - 3 y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

$4 (11 \cdot 11 + 11 (- y) - y \cdot 11 - y (- y)) - 3 y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $11$ mit $11$ .

$4 (121 + 11 (- y) - y \cdot 11 - y (- y)) - 3 y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$4 (121 - 11 y - y \cdot 11 - y (- y)) - 3 y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $11$ mit $- 1$ .

$4 (121 - 11 y - 11 y - y (- y)) - 3 y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 (121 - 11 y - 11 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y)) - 3 y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.5.1

Bewege $y$ .

$4 (121 - 11 y - 11 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y))) - 3 y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$4 (121 - 11 y - 11 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) - 3 y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

$4 (121 - 11 y - 11 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) - 3 y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 (121 - 11 y - 11 y + 1 y^{2}) - 3 y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$4 (121 - 11 y - 11 y + y^{2}) - 3 y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

$4 (121 - 11 y - 11 y + y^{2}) - 3 y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Subtrahiere $11 y$ von $- 11 y$ .

$4 (121 - 22 y + y^{2}) - 3 y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

$4 (121 - 22 y + y^{2}) - 3 y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

Schritt 2.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 121 + 4 (- 22 y) + 4 y^{2} - 3 y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

Schritt 2.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $121$ .

$484 + 4 (- 22 y) + 4 y^{2} - 3 y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

Schritt 2.2.1.1.5.2

Mutltipliziere $- 22$ mit $4$ .

$484 - 88 y + 4 y^{2} - 3 y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

$484 - 88 y + 4 y^{2} - 3 y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

$484 - 88 y + 4 y^{2} - 3 y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

Schritt 2.2.1.2

Subtrahiere $3 y^{2}$ von $4 y^{2}$ .

$484 - 88 y + y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

$484 - 88 y + y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

$484 - 88 y + y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

$484 - 88 y + y^{2} = 8$

$x = 11 - y$

Schritt 3

Löse in $484 - 88 y + y^{2} = 8$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$484 - 88 y + y^{2} - 8 = 0$

$x = 11 - y$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $8$ von $484$ .

$- 88 y + y^{2} + 476 = 0$

$x = 11 - y$

$- 88 y + y^{2} + 476 = 0$

$x = 11 - y$

Schritt 3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 88$ und $c = 476$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{88 \pm \sqrt{{(- 88)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 476)}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1.1

Potenziere $- 88$ mit $2$ .

$y = \frac{88 \pm \sqrt{7744 - 4 \cdot 1 \cdot 476}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 476$ .

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Schritt 3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{88 \pm \sqrt{7744 - 4 \cdot 476}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $476$ .

$y = \frac{88 \pm \sqrt{7744 - 1904}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

$y = \frac{88 \pm \sqrt{7744 - 1904}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.4.1.3

Subtrahiere $1904$ von $7744$ .

$y = \frac{88 \pm \sqrt{5840}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.4.1.4

Schreibe $5840$ als $4^{2} \cdot 365$ um.

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Schritt 3.4.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $5840$ heraus.

$y = \frac{88 \pm \sqrt{16 (365)}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.4.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{88 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 365}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

$y = \frac{88 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 365}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{88 \pm 4 \sqrt{365}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

$y = \frac{88 \pm 4 \sqrt{365}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{88 \pm 4 \sqrt{365}}{2}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.4.3

Vereinfache $\frac{88 \pm 4 \sqrt{365}}{2}$ .

$y = 44 \pm 2 \sqrt{365}$

$x = 11 - y$

$y = 44 \pm 2 \sqrt{365}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $- 88$ mit $2$ .

$y = \frac{88 \pm \sqrt{7744 - 4 \cdot 1 \cdot 476}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 476$ .

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Schritt 3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{88 \pm \sqrt{7744 - 4 \cdot 476}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $476$ .

$y = \frac{88 \pm \sqrt{7744 - 1904}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

$y = \frac{88 \pm \sqrt{7744 - 1904}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.5.1.3

Subtrahiere $1904$ von $7744$ .

$y = \frac{88 \pm \sqrt{5840}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.5.1.4

Schreibe $5840$ als $4^{2} \cdot 365$ um.

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Schritt 3.5.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $5840$ heraus.

$y = \frac{88 \pm \sqrt{16 (365)}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.5.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{88 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 365}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

$y = \frac{88 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 365}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{88 \pm 4 \sqrt{365}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

$y = \frac{88 \pm 4 \sqrt{365}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{88 \pm 4 \sqrt{365}}{2}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.5.3

Vereinfache $\frac{88 \pm 4 \sqrt{365}}{2}$ .

$y = 44 \pm 2 \sqrt{365}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 44 + 2 \sqrt{365}$

$x = 11 - y$

$y = 44 + 2 \sqrt{365}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $- 88$ mit $2$ .

$y = \frac{88 \pm \sqrt{7744 - 4 \cdot 1 \cdot 476}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 476$ .

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Schritt 3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{88 \pm \sqrt{7744 - 4 \cdot 476}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $476$ .

$y = \frac{88 \pm \sqrt{7744 - 1904}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

$y = \frac{88 \pm \sqrt{7744 - 1904}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.6.1.3

Subtrahiere $1904$ von $7744$ .

$y = \frac{88 \pm \sqrt{5840}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.6.1.4

Schreibe $5840$ als $4^{2} \cdot 365$ um.

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Schritt 3.6.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $5840$ heraus.

$y = \frac{88 \pm \sqrt{16 (365)}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.6.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{88 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 365}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

$y = \frac{88 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 365}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{88 \pm 4 \sqrt{365}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

$y = \frac{88 \pm 4 \sqrt{365}}{2 \cdot 1}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{88 \pm 4 \sqrt{365}}{2}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.6.3

Vereinfache $\frac{88 \pm 4 \sqrt{365}}{2}$ .

$y = 44 \pm 2 \sqrt{365}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 44 - 2 \sqrt{365}$

$x = 11 - y$

$y = 44 - 2 \sqrt{365}$

$x = 11 - y$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 44 + 2 \sqrt{365}, 44 - 2 \sqrt{365}$

$x = 11 - y$

$y = 44 + 2 \sqrt{365}, 44 - 2 \sqrt{365}$

$x = 11 - y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $44 + 2 \sqrt{365}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 11 - y$ durch $44 + 2 \sqrt{365}$ .

$x = 11 - (44 + 2 \sqrt{365})$

$y = 44 + 2 \sqrt{365}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $11 - (44 + 2 \sqrt{365})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 11 - 1 \cdot 44 - (2 \sqrt{365})$

$y = 44 + 2 \sqrt{365}$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $44$ .

$x = 11 - 44 - (2 \sqrt{365})$

$y = 44 + 2 \sqrt{365}$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = 11 - 44 - 2 \sqrt{365}$

$y = 44 + 2 \sqrt{365}$

$x = 11 - 44 - 2 \sqrt{365}$

$y = 44 + 2 \sqrt{365}$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $44$ von $11$ .

$x = - 33 - 2 \sqrt{365}$

$y = 44 + 2 \sqrt{365}$

$x = - 33 - 2 \sqrt{365}$

$y = 44 + 2 \sqrt{365}$

$x = - 33 - 2 \sqrt{365}$

$y = 44 + 2 \sqrt{365}$

$x = - 33 - 2 \sqrt{365}$

$y = 44 + 2 \sqrt{365}$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $44 - 2 \sqrt{365}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = 11 - y$ durch $44 - 2 \sqrt{365}$ .

$x = 11 - (44 - 2 \sqrt{365})$

$y = 44 - 2 \sqrt{365}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $11 - (44 - 2 \sqrt{365})$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 11 - 1 \cdot 44 - (- 2 \sqrt{365})$

$y = 44 - 2 \sqrt{365}$

Schritt 5.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $44$ .

$x = 11 - 44 - (- 2 \sqrt{365})$

$y = 44 - 2 \sqrt{365}$

Schritt 5.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x = 11 - 44 + 2 \sqrt{365}$

$y = 44 - 2 \sqrt{365}$

$x = 11 - 44 + 2 \sqrt{365}$

$y = 44 - 2 \sqrt{365}$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $44$ von $11$ .

$x = - 33 + 2 \sqrt{365}$

$y = 44 - 2 \sqrt{365}$

$x = - 33 + 2 \sqrt{365}$

$y = 44 - 2 \sqrt{365}$

$x = - 33 + 2 \sqrt{365}$

$y = 44 - 2 \sqrt{365}$

$x = - 33 + 2 \sqrt{365}$

$y = 44 - 2 \sqrt{365}$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 33 - 2 \sqrt{365}, 44 + 2 \sqrt{365})$

$(- 33 + 2 \sqrt{365}, 44 - 2 \sqrt{365})$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- 33 - 2 \sqrt{365}, 44 + 2 \sqrt{365}), (- 33 + 2 \sqrt{365}, 44 - 2 \sqrt{365})$

Gleichungsform:

$x = - 33 - 2 \sqrt{365}, y = 44 + 2 \sqrt{365}$

$x = - 33 + 2 \sqrt{365}, y = 44 - 2 \sqrt{365}$

Schritt 8