Algebra Beispiele

$y = 2 + \frac{3}{2} \sqrt{5 - x}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = 2 + \frac{3}{2} \cdot \sqrt{5 - x}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{5 - x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 - x \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x \geq - 5$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq - 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Term in $- x \geq - 5$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $- 5$ durch $- 1$ .

$x \leq 5$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 5]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq 5}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 5]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq 5}$

Schritt 2

Um den Endpunkt des Wurzelausdrucks zu ermitteln, setze den $x$ -Wert $5$ , welcher der kleinste Wert im Definitionsbereich ist, in $f (x) = \frac{4 + 3 \sqrt{5 - x}}{2}$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = \frac{4 + 3 \sqrt{5 - (5)}}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f (5) = \frac{4 + 3 \sqrt{5 - 5}}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (5) = \frac{4 + 3 \sqrt{0}}{2}$

Schritt 2.2.1.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (5) = \frac{4 + 3 \sqrt{0^{2}}}{2}$

Schritt 2.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (5) = \frac{4 + 3 \cdot 0}{2}$

Schritt 2.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f (5) = \frac{4 + 0}{2}$

Schritt 2.2.1.6

Addiere $4$ und $0$ .

$f (5) = \frac{4}{2}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$f (5) = 2$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 3

Der Endpunkt des Wurzelausdrucks ist $(5, 2)$ .

$(5, 2)$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $3$ in $f (x) = \frac{4 + 3 \sqrt{5 - x}}{2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(3, \frac{4 + 3 \sqrt{2}}{2})$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{4 + 3 \sqrt{5 - (3)}}{2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (3) = \frac{4 + 3 \sqrt{5 - 3}}{2}$

Schritt 4.1.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$f (3) = \frac{4 + 3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{4 + 3 \sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{4 + 3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $4$ in $f (x) = \frac{4 + 3 \sqrt{5 - x}}{2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(4, \frac{7}{2})$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = \frac{4 + 3 \sqrt{5 - (4)}}{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (4) = \frac{4 + 3 \sqrt{5 - 4}}{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$f (4) = \frac{4 + 3 \sqrt{1}}{2}$

Schritt 4.2.2.1.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (4) = \frac{4 + 3 \cdot 1}{2}$

Schritt 4.2.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (4) = \frac{4 + 3}{2}$

Schritt 4.2.2.1.5

Addiere $4$ und $3$ .

$f (4) = \frac{7}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{7}{2}$ .

$y = \frac{7}{2}$

Schritt 4.3

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(5, 2), (3, 4.12), (4, 3.5)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & 4.12 \\ 4 & 3.5 \\ 5 & 2 \end{array}$

Schritt 5