Algebra Beispiele

$\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) - 1 = 0$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

Schritt 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = \pm \sqrt{1}$

Schritt 3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = \pm 1$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

Schritt 4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1, - 1$

Schritt 5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1$

Schritt 6

Löse in $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \arccos (1)$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 0$

Schritt 6.3

Subtrahiere $\frac{π}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{3}$

Schritt 6.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

Schritt 6.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

Schritt 6.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (- \frac{π}{3})$

Schritt 6.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{π}{3})$ .

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Schritt 6.5.2.1.1

Multipliziere $2 (- \frac{π}{3})$ .

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Schritt 6.5.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = - 2 \frac{π}{3}$

Schritt 6.5.2.1.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{- 2 π}{3}$

Schritt 6.5.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 π}{3}$

Schritt 6.6

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 2 π - 0$

Schritt 6.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.7.1

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 2 π$

Schritt 6.7.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.7.2.1

Subtrahiere $\frac{π}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 6.7.2.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 6.7.2.3

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 6.7.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 6.7.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.7.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 6.7.2.5.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{3}$

Schritt 6.7.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{3}$

Schritt 6.7.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.7.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.7.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.7.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{3}$

Schritt 6.7.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{5 π}{3}$

Schritt 6.7.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.7.4.2.1

Multipliziere $2 \frac{5 π}{3}$ .

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Schritt 6.7.4.2.1.1

Kombiniere $2$ und $\frac{5 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (5 π)}{3}$

Schritt 6.7.4.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{10 π}{3}$

Schritt 6.8

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ .

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Schritt 6.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.8.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 6.8.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.8.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 6.8.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 6.9

Addiere $4 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 6.9.1

Addiere $4 π$ zu $- \frac{2 π}{3}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{2 π}{3} + 4 π$

Schritt 6.9.2

Um $4 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$4 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 6.9.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.9.3.1

Kombiniere $4 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 6.9.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Schritt 6.9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.9.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12 π - 2 π}{3}$

Schritt 6.9.4.2

Subtrahiere $2 π$ von $12 π$ .

$\frac{10 π}{3}$

Schritt 6.9.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{10 π}{3}$

Schritt 6.10

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{10 π}{3} + 4 π n, \frac{10 π}{3} + 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Löse in $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \arccos (- 1)$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = π$

Schritt 7.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Subtrahiere $\frac{π}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{3}$

Schritt 7.3.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 7.3.3

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 7.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 7.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.5.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Schritt 7.3.5.2

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Schritt 7.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Schritt 7.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Schritt 7.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{2 π}{3}$

Schritt 7.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.5.2.1

Multipliziere $2 \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 7.5.2.1.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3}$

Schritt 7.5.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 7.6

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 2 π - π$

Schritt 7.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.7.1

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = π$

Schritt 7.7.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.7.2.1

Subtrahiere $\frac{π}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{3}$

Schritt 7.7.2.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 7.7.2.3

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 7.7.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 7.7.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.7.2.5.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Schritt 7.7.2.5.2

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Schritt 7.7.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Schritt 7.7.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.7.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.7.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.7.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Schritt 7.7.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{2 π}{3}$

Schritt 7.7.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.7.4.2.1

Multipliziere $2 \frac{2 π}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.7.4.2.1.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3}$

Schritt 7.7.4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 7.8

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.8.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 7.8.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 7.8.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 7.8.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 7.9

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{4 π}{3} + 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{10 π}{3} + 4 π n, \frac{10 π}{3} + 4 π n, \frac{4 π}{3} + 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$