Algebra Beispiele

$\cos^{2} (x) = \sin (x)$

Schritt 1

Subtrahiere $\sin (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) = 0$

Schritt 2

Ersetze $\cos^{2} (x)$ durch $1 - \sin^{2} (x)$ .

$(1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x) = 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$1 - {(u)}^{2} - (u) = 0$

Schritt 3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = - 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

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Schritt 3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Schritt 3.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.6

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.7

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.8

Löse in $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.1

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 3.9

Löse in $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.9.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Schritt 3.9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.9.2.1

Berechne $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

$x = 0.66623943$

Schritt 3.9.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$

Schritt 3.9.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 3.9.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265 - 2 π$

Schritt 3.9.4.2

Der resultierende Winkel von $2.47535322$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$ .

$x = 2.47535322$

Schritt 3.9.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.9.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.9.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.9.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.9.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.9.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.10

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$