Algebra Beispiele

$x + 3 y^{2} + 12 y = 18$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $3 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 12 y = 18 - 3 y^{2}$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $12 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 18 - 3 y^{2} - 12 y$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $18 - 3 y^{2} - 12 y$ an.

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Schritt 1.2.1

Bewege $18$ .

$- 3 y^{2} - 12 y + 18$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 3$

$b = - 12$

$c = 18$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 12}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 3$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (- 3)}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 6}{- 3}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $- 3$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 6$ heraus.

$d = \frac{- 3 (2)}{- 3}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3$ heraus.

$d = \frac{- 3 \cdot 2}{- 3 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 3 \cdot 2}{- 3 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{1}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$d = 2$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 18 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot - 3}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$e = 18 - \frac{144}{4 \cdot - 3}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$e = 18 - \frac{144}{- 12}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Dividiere $144$ durch $- 12$ .

$e = 18 - - 12$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$e = 18 + 12$

Schritt 1.2.5.2.2

Addiere $18$ und $12$ .

$e = 30$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 3 {(y + 2)}^{2} + 30$ ein.

$- 3 {(y + 2)}^{2} + 30$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - 3 {(y + 2)}^{2} + 30$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 3$

$h = 30$

$k = - 2$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach links offen.

Nach links offen

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(30, - 2)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

Schritt 5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{12}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{359}{12}, - 2)$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = - 2$

Schritt 8