Algebra Beispiele

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{8}}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{4 (2)}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - (2 \sqrt{2})}$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}}$

Schritt 3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{2})}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{2})}{{\sqrt{3}}^{2} + 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{2})}{- 5}$

Schritt 4

Multipliziere $(\sqrt{2} + \sqrt{3}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}) + \sqrt{3} (\sqrt{3} + 2 \sqrt{2})}{- 5}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{3} (\sqrt{3} + 2 \sqrt{2})}{- 5}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Schritt 5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Schritt 5.1.3

Multipliziere $\sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 5.1.3.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{6} + 2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Schritt 5.1.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{6} + 2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Schritt 5.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{6} + 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Schritt 5.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{6} + 2 {\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Schritt 5.1.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{6} + 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Schritt 5.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6} + 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Schritt 5.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Schritt 5.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{6} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Schritt 5.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{6} + 2 \cdot 2^{1} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Schritt 5.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{6} + 2 \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Schritt 5.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + 4 + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Schritt 5.1.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{6} + 4 + \sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Schritt 5.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{6} + 4 + \sqrt{9} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Schritt 5.1.8

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{6} + 4 + \sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Schritt 5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{6} + 4 + 3 + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Schritt 5.1.10

Multipliziere $\sqrt{3} (2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 5.1.10.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{6} + 4 + 3 + 2 \sqrt{3 \cdot 2}}{- 5}$

Schritt 5.1.10.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + 4 + 3 + 2 \sqrt{6}}{- 5}$

Schritt 5.2

Addiere $\sqrt{6}$ und $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{4 + 3 + 3 \sqrt{6}}{- 5}$

Schritt 5.3

Addiere $4$ und $3$ .

$\frac{7 + 3 \sqrt{6}}{- 5}$

Schritt 6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7 + 3 \sqrt{6}}{5}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{7 + 3 \sqrt{6}}{5}$

Dezimalform:

$- 2.86969384 \dots$