Algebra Beispiele

$\frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + 8 x + 15} \div \frac{x + 4}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ und deren Summe gleich $b = 7$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$\frac{2 x^{2} + 7 (x) - 4}{x^{2} + 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $7$ um als $- 1$ plus $8$

$\frac{2 x^{2} + (- 1 + 8) x - 4}{x^{2} + 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 1 x + 8 x - 4}{x^{2} + 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(2 x^{2} - 1 x) + 8 x - 4}{x^{2} + 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1)}{x^{2} + 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x + 4)}{x^{2} + 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} + 8 x + 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $15$ und deren Summe $8$ ist.

$3, 5$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(2 x - 1) (x + 4)}{(x + 3) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 4$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x + 4$ aus $(2 x - 1) (x + 4)$ heraus.

$\frac{(x + 4) (2 x - 1)}{(x + 3) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 4) (2 x - 1)}{(x + 3) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x - 1}{(x + 3) (x + 5)} (x^{2} + 10 x + 25)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{2 x - 1}{(x + 3) (x + 5)}$ mit $x^{2} + 10 x + 25$ .

$\frac{(2 x - 1) (x^{2} + 10 x + 25)}{(x + 3) (x + 5)}$

Schritt 5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{(2 x - 1) (x^{2} + 10 x + 5^{2})}{(x + 3) (x + 5)}$

Schritt 5.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 5.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(2 x - 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}{(x + 3) (x + 5)}$

Schritt 5.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{(2 x - 1) {(x + 5)}^{2}}{(x + 3) (x + 5)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 5)}^{2}$ und $x + 5$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x + 5$ aus $(2 x - 1) {(x + 5)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 5) ((2 x - 1) (x + 5))}{(x + 3) (x + 5)}$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $x + 5$ aus $(x + 3) (x + 5)$ heraus.

$\frac{(x + 5) ((2 x - 1) (x + 5))}{(x + 5) (x + 3)}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 5) ((2 x - 1) (x + 5))}{(x + 5) (x + 3)}$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(2 x - 1) (x + 5)}{x + 3}$