Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} + x - 12}{9 x^{2} - 1} \div \frac{x^{2} - 5 x + 6}{3 x^{2} - 5 x - 2}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} + x - 12}{9 x^{2} - 1} \cdot \frac{3 x^{2} - 5 x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} + x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $1$ ist.

$- 3, 4$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{9 x^{2} - 1} \cdot \frac{3 x^{2} - 5 x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{{(3 x)}^{2} - 1} \cdot \frac{3 x^{2} - 5 x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{{(3 x)}^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{3 x^{2} - 5 x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{3 x^{2} - 5 x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{3 x^{2} - 5 (x) - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 4.1.2

Schreibe $- 5$ um als $1$ plus $- 6$

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{3 x^{2} + (1 - 6) x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{3 x^{2} + 1 x - 6 x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{3 x^{2} + x - 6 x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{(3 x^{2} + x) - 6 x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{x (3 x + 1) - 2 (3 x + 1)}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 1$ .

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{(3 x + 1) (x - 2)}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 5

Faktorisiere $x^{2} - 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 3, - 2$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{(3 x + 1) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{(3 x + 1) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 4}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{(3 x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x + 1$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 4}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{(3 x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 4}{3 x - 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{x + 4}{3 x - 1}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 2)}{(3 x - 1) (x - 2)}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 4) (x - 2)}{(3 x - 1) (x - 2)}$

Schritt 9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 4}{3 x - 1}$