Algebra Beispiele

$f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$ als Gleichung.

$y = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 2 \cdot 3^{2 y} + 4$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 \cdot 3^{2 y} + 4 = x$ um.

$2 \cdot 3^{2 y} + 4 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cdot 3^{2 y} = x - 4$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 \cdot 3^{2 y} = x - 4$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cdot 3^{2 y} = x - 4$ durch $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{2 y}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3^{2 y}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $3^{2 y}$ durch $1$ .

$3^{2 y} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$3^{2 y} = \frac{x}{2} - 2$

Schritt 3.4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{2 y}) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Schritt 3.5

Zerlege $\ln (3^{2 y})$ durch Herausziehen von $2 y$ aus dem Logarithmus.

$2 y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Schritt 3.6

Teile jeden Ausdruck in $2 y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$ durch $2 \ln (3)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$ durch $2 \ln (3)$ .

$\frac{2 y \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Schritt 3.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Schritt 3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Schritt 3.6.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 \cdot 3^{2 x} + 4}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \cdot 3^{2 x} + 4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 3^{2 x}$ heraus.

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x}) + 4}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Schritt 5.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x}) + 2 \cdot 2}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Schritt 5.2.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3^{2 x}) + 2 (2)$ heraus.

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x} + 2)}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Schritt 5.2.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x} + 2)}{2 (1)} - 2)}{2 \ln (3)}$

Schritt 5.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x} + 2)}{2 \cdot 1} - 2)}{2 \ln (3)}$

Schritt 5.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{3^{2 x} + 2}{1} - 2)}{2 \ln (3)}$

Schritt 5.2.3.4.4

Dividiere $3^{2 x} + 2$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x} + 2 - 2)}{2 \ln (3)}$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3^{2 x} + 2 - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x} + 0)}{2 \ln (3)}$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $3^{2 x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x})}{2 \ln (3)}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache $2 \ln (3)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x})}{\ln (3^{2})}$

Schritt 5.2.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x})}{\ln (9)}$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)})} + 4$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.1

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

Schritt 5.3.3.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

Schritt 5.3.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 2 \cdot 2}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

Schritt 5.3.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache $2 \ln (3)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (3^{2})})} + 4$

Schritt 5.3.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)})} + 4$

Schritt 5.3.3.4

Multipliziere $2 \frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{2 \ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)}} + 4$

Schritt 5.3.3.4.2

Vereinfache $2 \ln (\frac{x - 4}{2})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{\ln ({(\frac{x - 4}{2})}^{2})}{\ln (9)}} + 4$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x - 4}{2}$ an.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{\ln (\frac{{(x - 4)}^{2}}{2^{2}})}{\ln (9)}} + 4$

Schritt 5.3.3.5.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{\ln (\frac{{(x - 4)}^{2}}{4})}{\ln (9)}} + 4$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$