Algebra Beispiele

$f (x) = x^{2} (x^{2} + 1) {(x + 2)}^{2}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x^{2} (x^{2} + 1) {(x + 2)}^{2}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} (x^{2} + 1) {(x + 2)}^{2} = 0$ um.

$x^{2} (x^{2} + 1) {(x + 2)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.3

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.2.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 1.2.4.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 1.2.4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 1.2.4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 1.2.4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 1.2.5

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse ${(x + 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 1.2.5.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} (x^{2} + 1) {(x + 2)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, i, - i, - 2$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (- 2, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(0)}^{2} ({(0)}^{2} + 1) {((0) + 2)}^{2}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{2} ({(0)}^{2} + 1) {((0) + 2)}^{2}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0^{2} (0^{2} + 1) {((0) + 2)}^{2}$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 0^{2} (0^{2} + 1) {(0 + 2)}^{2}$

Schritt 2.2.4

Entferne die Klammern.

$y = {(0)}^{2} ({(0)}^{2} + 1) {((0) + 2)}^{2}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache ${(0)}^{2} ({(0)}^{2} + 1) {((0) + 2)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 ({(0)}^{2} + 1) {((0) + 2)}^{2}$

Schritt 2.2.5.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 (0 + 1) {((0) + 2)}^{2}$

Schritt 2.2.5.3

Addiere $0$ und $1$ .

$y = 0 \cdot 1 {((0) + 2)}^{2}$

Schritt 2.2.5.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$y = 0 {((0) + 2)}^{2}$

Schritt 2.2.5.5

Addiere $0$ und $2$ .

$y = 0 \cdot 2^{2}$

Schritt 2.2.5.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = 0 \cdot 4$

Schritt 2.2.5.7

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (- 2, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4