Algebra Beispiele

$x^{4} - 10 x^{3} + 9 x^{2} - x^{2} + 10 x - 9$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$x^{4} - 10 x^{3} + 9 x^{2} - x^{2} + 10 x - 9$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - 10 x^{3} + 9 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$x^{2} x^{2} - 10 x^{3} + 9 x^{2} - x^{2} + 10 x - 9$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 10 x^{3}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 10 x) + 9 x^{2} - x^{2} + 10 x - 9$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 10 x) + x^{2} \cdot 9 - x^{2} + 10 x - 9$

Schritt 2.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 10 x)$ heraus.

$x^{2} (x^{2} - 10 x) + x^{2} \cdot 9 - x^{2} + 10 x - 9$

Schritt 2.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x^{2} - 10 x) + x^{2} \cdot 9$ heraus.

$x^{2} (x^{2} - 10 x + 9) - x^{2} + 10 x - 9$

Schritt 3

Faktorisiere.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x^{2} - 10 x + 9$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $9$ und deren Summe $- 10$ ist.

$- 9, - 1$

Schritt 3.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x^{2} ((x - 9) (x - 1)) - x^{2} + 10 x - 9$

Schritt 3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} (x - 9) (x - 1) - x^{2} + 10 x - 9$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ und deren Summe gleich $b = 10$ ist.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x$ heraus.

$x^{2} (x - 9) (x - 1) - x^{2} + 10 (x) - 9$

Schritt 4.1.2

Schreibe $10$ um als $1$ plus $9$

$x^{2} (x - 9) (x - 1) - x^{2} + (1 + 9) x - 9$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (x - 9) (x - 1) - x^{2} + 1 x + 9 x - 9$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} (x - 9) (x - 1) - x^{2} + x + 9 x - 9$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x^{2} (x - 9) (x - 1) + (- x^{2} + x) + 9 x - 9$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x - 9) (x - 1) + x (- x + 1) - 9 (- x + 1)$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 1$ .

$x^{2} (x - 9) (x - 1) + (- x + 1) (x - 9)$

Schritt 5

Faktorisiere $x - 9$ aus $x^{2} (x - 9) (x - 1) + (- x + 1) (x - 9)$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x - 9$ aus $x^{2} (x - 9) (x - 1)$ heraus.

$(x - 9) (x^{2} (x - 1)) + (- x + 1) (x - 9)$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x - 9$ aus $(- x + 1) (x - 9)$ heraus.

$(x - 9) (x^{2} (x - 1)) + (x - 9) (- x + 1)$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x - 9$ aus $(x - 9) (x^{2} (x - 1)) + (x - 9) (- x + 1)$ heraus.

$(x - 9) (x^{2} (x - 1) - x + 1)$

Schritt 6

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 - x + 1)$

Schritt 7

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 7.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x - 9) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 - x + 1)$

Schritt 7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x - 9) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 - x + 1)$

Schritt 7.2

Addiere $2$ und $1$ .

$(x - 9) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 - x + 1)$

Schritt 8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$(x - 9) (x^{3} - 1 x^{2} - x + 1)$

Schritt 9

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$(x - 9) (x^{3} - x^{2} - x + 1)$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Schreibe $x^{3} - x^{2} - x + 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 10.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 10.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 9) ((x^{3} - x^{2}) - x + 1)$

Schritt 10.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 9) (x^{2} (x - 1) - (x - 1))$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1$ .

$(x - 9) ((x - 1) (x^{2} - 1))$

Schritt 10.1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x - 9) ((x - 1) (x^{2} - 1^{2}))$

Schritt 10.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 10.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x - 9) ((x - 1) ((x + 1) (x - 1)))$

Schritt 10.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 9) ((x - 1) (x + 1) (x - 1))$

Schritt 10.1.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 10.1.5.1

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$(x - 9) ({(x - 1)}^{1} (x - 1) (x + 1))$

Schritt 10.1.5.2

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$(x - 9) ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} (x + 1))$

Schritt 10.1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x - 9) ({(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1))$

Schritt 10.1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(x - 9) ({(x - 1)}^{2} (x + 1))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 9) {(x - 1)}^{2} (x + 1)$