Algebra Beispiele

$2 \log (2 x + 2) = \log (16) + 2 \log (x - 2)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $2 \log (2 x + 2)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log ({(2 x + 2)}^{2}) = \log (16) + 2 \log (x - 2)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\log (16) + 2 \log (x - 2)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $2 \log (x - 2)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log ({(2 x + 2)}^{2}) = \log (16) + \log ({(x - 2)}^{2})$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(2 x + 2)}^{2}) = \log (16 {(x - 2)}^{2})$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache $16 {(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 4.1.1

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 ((x - 2) (x - 2))$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Schritt 4.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Schritt 4.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Schritt 4.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Schritt 4.1.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Schritt 4.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Schritt 4.1.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x^{2} - 4 x + 4)$

Schritt 4.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 x^{2} + 16 (- 4 x) + 16 \cdot 4$

Schritt 4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 x^{2} - 64 x + 16 \cdot 4$

Schritt 4.1.5.2

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 x^{2} - 64 x + 64$

Schritt 4.2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = {(2 x + 2)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache ${(2 x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Schreibe ${(2 x + 2)}^{2}$ als $(2 x + 2) (2 x + 2)$ um.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = (2 x + 2) (2 x + 2)$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $(2 x + 2) (2 x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 x (2 x + 2) + 2 (2 x + 2)$

Schritt 4.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x + 2)$

Schritt 4.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 4 x + 4 x + 4$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 8 x + 4$

Schritt 4.4

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 x^{2} = 8 x + 4$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 x^{2} - 8 x = 4$

Schritt 4.4.3

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $16 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 64 x + 64 - 8 x = 4$

Schritt 4.4.4

Subtrahiere $8 x$ von $- 64 x$ .

$12 x^{2} - 72 x + 64 = 4$

Schritt 4.5

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 x^{2} - 72 x + 64 - 4 = 0$

Schritt 4.6

Subtrahiere $4$ von $64$ .

$12 x^{2} - 72 x + 60 = 0$

Schritt 4.7

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.7.1

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{2} - 72 x + 60$ heraus.

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Schritt 4.7.1.1

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$12 (x^{2}) - 72 x + 60 = 0$

Schritt 4.7.1.2

Faktorisiere $12$ aus $- 72 x$ heraus.

$12 (x^{2}) + 12 (- 6 x) + 60 = 0$

Schritt 4.7.1.3

Faktorisiere $12$ aus $60$ heraus.

$12 x^{2} + 12 (- 6 x) + 12 \cdot 5 = 0$

Schritt 4.7.1.4

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{2} + 12 (- 6 x)$ heraus.

$12 (x^{2} - 6 x) + 12 \cdot 5 = 0$

Schritt 4.7.1.5

Faktorisiere $12$ aus $12 (x^{2} - 6 x) + 12 \cdot 5$ heraus.

$12 (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

Schritt 4.7.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.7.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 6 x + 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.7.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $5$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 5, - 1$

Schritt 4.7.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$12 ((x - 5) (x - 1)) = 0$

Schritt 4.7.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$12 (x - 5) (x - 1) = 0$

Schritt 4.8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 4.9

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.9.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 4.9.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 4.10

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.10.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.10.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4.11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 (x - 5) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 5, 1$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $2 \log (2 x + 2) = \log (16) + 2 \log (x - 2)$ nicht erfüllen.

$x = 5$