Algebra Beispiele

$f (x) = x^{4} - 18 x^{2} + 81$

Schritt 1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f (x) = {(x^{2})}^{2} - 18 x^{2} + 81$

Schritt 2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$f (x) = u^{2} - 18 u + 81$

Schritt 3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$f (x) = u^{2} - 18 u + 9^{2}$

Schritt 3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$18 u = 2 \cdot u \cdot 9$

Schritt 3.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (x) = u^{2} - 2 \cdot u \cdot 9 + 9^{2}$

Schritt 3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 9$ .

$f (x) = {(u - 9)}^{2}$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f (x) = {(x^{2} - 9)}^{2}$

Schritt 5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (x) = {(x^{2} - 3^{2})}^{2}$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$f (x) = {((x + 3) (x - 3))}^{2}$

Schritt 7

Wende die Produktregel auf $(x + 3) (x - 3)$ an.

$f (x) = {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}$