Algebra Beispiele

$\frac{4 x^{2} + 23 x + 15}{16 x^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 15 = 60$ und deren Summe gleich $b = 23$ ist.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $23$ aus $23 x$ heraus.

$\frac{4 x^{2} + 23 (x) + 15}{16 x^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $23$ um als $3$ plus $20$

$\frac{4 x^{2} + (3 + 20) x + 15}{16 x^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} + 3 x + 20 x + 15}{16 x^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(4 x^{2} + 3 x) + 20 x + 15}{16 x^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (4 x + 3) + 5 (4 x + 3)}{16 x^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x + 3$ .

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{16 x^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $16 x^{2}$ als ${(4 x)}^{2}$ um.

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{{(4 x)}^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{{(4 x)}^{2} - 3^{2}} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4 x$ und $b = 3$ .

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ und deren Summe gleich $b = 9$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x$ heraus.

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 (x) - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $9$ um als $- 3$ plus $12$

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{4 x^{2} + (- 3 + 12) x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{4 x^{2} - 3 x + 12 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{(4 x^{2} - 3 x) + 12 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{x (4 x - 3) + 3 (4 x - 3)}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x - 3$ .

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{(4 x - 3) (x + 3)}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 4

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 15$ und deren Summe $2$ ist.

$- 3, 5$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{(4 x - 3) (x + 3)}{(x - 3) (x + 5)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x + 5$ aus $(4 x + 3) (x + 5)$ heraus.

$\frac{(x + 5) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{(4 x - 3) (x + 3)}{(x - 3) (x + 5)}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $x + 5$ aus $(x - 3) (x + 5)$ heraus.

$\frac{(x + 5) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{(4 x - 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 3)}$

Schritt 5.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 5) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{(4 x - 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 3)}$

Schritt 5.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x + 3}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{(4 x - 3) (x + 3)}{x - 3}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 x - 3$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $4 x - 3$ aus $(4 x + 3) (4 x - 3)$ heraus.

$\frac{4 x + 3}{(4 x - 3) (4 x + 3)} \cdot \frac{(4 x - 3) (x + 3)}{x - 3}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x + 3}{(4 x - 3) (4 x + 3)} \cdot \frac{(4 x - 3) (x + 3)}{x - 3}$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x + 3}{4 x + 3} \cdot \frac{x + 3}{x - 3}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\frac{4 x + 3}{4 x + 3}$ mit $\frac{x + 3}{x - 3}$ .

$\frac{(4 x + 3) (x + 3)}{(4 x + 3) (x - 3)}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 x + 3$ .

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(4 x + 3) (x + 3)}{(4 x + 3) (x - 3)}$

Schritt 5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 3}{x - 3}$