Algebra Beispiele

$\frac{1}{16} \cdot {(\frac{1}{8})}^{x} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{1}{16} \cdot {(\frac{1}{8})}^{x}$ .

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Schritt 1.1

Forme um.

$0 + 0 + \frac{1}{16} \cdot {(\frac{1}{8})}^{x} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{8}$ an.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1^{x}}{8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Schritt 1.3

Kombinieren.

$\frac{1 \cdot 1^{x}}{16 \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1^{x}$ .

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Schritt 1.4.1

Potenziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1^{1} \cdot 1^{x}}{16 \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Schritt 1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1^{1 + x}}{16 \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Schritt 1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{16 \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Schritt 1.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.6.1

Schreibe $16$ als $2^{4}$ um.

$\frac{1}{2^{4} \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Schritt 1.6.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{1}{2^{4} \cdot {(2^{3})}^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Schritt 1.6.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{4} \cdot 2^{3 x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Schritt 1.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Schritt 2

Vereinfache ${(\frac{1}{4})}^{x}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} \leq \frac{1^{x}}{4^{x}}$

Schritt 2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} \leq \frac{1}{4^{x}}$

Schritt 3

Subtrahiere $\frac{1}{4^{x}}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} - \frac{1}{4^{x}} \leq 0$

Schritt 4

Bringe $- \frac{1}{4^{x}}$ auf die rechte Seite der Gleichung, indem du es auf beiden Seiten addierst.

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} = \frac{1}{4^{x}}$

Schritt 5

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (\frac{1}{2^{4 + 3 x}}) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Schritt 6

Schreibe $\ln (\frac{1}{2^{4 + 3 x}})$ als $\ln (1) - \ln (2^{4 + 3 x})$ um.

$\ln (1) - \ln (2^{4 + 3 x}) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Schritt 7

Zerlege $\ln (2^{4 + 3 x})$ durch Herausziehen von $4 + 3 x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (1) - ((4 + 3 x) \ln (2)) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Schritt 8

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$0 - ((4 + 3 x) \ln (2)) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Schritt 9

Subtrahiere $(4 + 3 x) \ln (2)$ von $0$ .

$- ((4 + 3 x) \ln (2)) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Schritt 10

Entferne die Klammern.

$- (4 + 3 x) \ln (2) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Schritt 11

Schreibe $\ln (\frac{1}{4^{x}})$ als $\ln (1) - \ln (4^{x})$ um.

$- (4 + 3 x) \ln (2) = \ln (1) - \ln (4^{x})$

Schritt 12

Zerlege $\ln (4^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$- (4 + 3 x) \ln (2) = \ln (1) - (x \ln (4))$

Schritt 13

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$- (4 + 3 x) \ln (2) = 0 - (x \ln (4))$

Schritt 14

Subtrahiere $x \ln (4)$ von $0$ .

$- (4 + 3 x) \ln (2) = - (x \ln (4))$

Schritt 15

Entferne die Klammern.

$- (4 + 3 x) \ln (2) = - x \ln (4)$

Schritt 16

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 16.1

Vereinfache $- (4 + 3 x) \ln (2)$ .

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Schritt 16.1.1

Forme um.

$0 + 0 - (4 + 3 x) \ln (2) = - x \ln (4)$

Schritt 16.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$- (4 + 3 x) \ln (2) = - x \ln (4)$

Schritt 16.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(- 1 \cdot 4 - (3 x)) \ln (2) = - x \ln (4)$

Schritt 16.1.4

Multipliziere.

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Schritt 16.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$(- 4 - (3 x)) \ln (2) = - x \ln (4)$

Schritt 16.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$(- 4 - 3 x) \ln (2) = - x \ln (4)$

Schritt 16.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 \ln (2) - 3 x \ln (2) = - x \ln (4)$

Schritt 16.2

Addiere $x \ln (4)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 \ln (2) - 3 x \ln (2) + x \ln (4) = 0$

Schritt 16.3

Addiere $4 \ln (2)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x \ln (2) + x \ln (4) = 4 \ln (2)$

Schritt 16.4

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x \ln (2) + x \ln (4)$ heraus.

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Schritt 16.4.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x \ln (2)$ heraus.

$x (- 3 \ln (2)) + x \ln (4) = 4 \ln (2)$

Schritt 16.4.2

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (4)$ heraus.

$x (- 3 \ln (2)) + x (\ln (4)) = 4 \ln (2)$

Schritt 16.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 3 \ln (2)) + x (\ln (4))$ heraus.

$x (- 3 \ln (2) + \ln (4)) = 4 \ln (2)$

Schritt 16.5

Teile jeden Ausdruck in $x (- 3 \ln (2) + \ln (4)) = 4 \ln (2)$ durch $- 3 \ln (2) + \ln (4)$ und vereinfache.

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Schritt 16.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x (- 3 \ln (2) + \ln (4)) = 4 \ln (2)$ durch $- 3 \ln (2) + \ln (4)$ .

$\frac{x (- 3 \ln (2) + \ln (4))}{- 3 \ln (2) + \ln (4)} = \frac{4 \ln (2)}{- 3 \ln (2) + \ln (4)}$

Schritt 16.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 16.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3 \ln (2) + \ln (4)$ .

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Schritt 16.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- 3 \ln (2) + \ln (4))}{- 3 \ln (2) + \ln (4)} = \frac{4 \ln (2)}{- 3 \ln (2) + \ln (4)}$

Schritt 16.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4 \ln (2)}{- 3 \ln (2) + \ln (4)}$

Schritt 16.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 16.5.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 \ln (2)$ heraus.

$x = \frac{4 \ln (2)}{- (3 \ln (2)) + \ln (4)}$

Schritt 16.5.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (4)$ heraus.

$x = \frac{4 \ln (2)}{- (3 \ln (2)) - 1 (- \ln (4))}$

Schritt 16.5.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 \ln (2)) - 1 (- \ln (4))$ heraus.

$x = \frac{4 \ln (2)}{- (3 \ln (2) - \ln (4))}$

Schritt 16.5.3.4

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 16.5.3.4.1

Schreibe $- (3 \ln (2) - \ln (4))$ als $- 1 (3 \ln (2) - \ln (4))$ um.

$x = \frac{4 \ln (2)}{- 1 (3 \ln (2) - \ln (4))}$

Schritt 16.5.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4 \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (4)}$

Schritt 17

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \geq - \frac{4 \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (4)}$

Schritt 18

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \geq - \frac{4 \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (4)}$

Intervallschreibweise:

$[- \frac{4 \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (4)}, \infty)$

Schritt 19