Algebra Beispiele

$y = \sqrt{9 - x}$ $x + 2 y = 6$

Schritt 1

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\sqrt{9 - x}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.1

Ersetze alle $y$ in $x + 2 y = 6$ durch $\sqrt{9 - x}$ .

$x + 2 (\sqrt{9 - x}) = 6$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere $2$ mit $\sqrt{9 - x}$ .

$x + 2 \sqrt{9 - x} = 6$

$y = \sqrt{9 - x}$

$x + 2 \sqrt{9 - x} = 6$

$y = \sqrt{9 - x}$

$x + 2 \sqrt{9 - x} = 6$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2

Löse in $x + 2 \sqrt{9 - x} = 6$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{9 - x} = 6 - x$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{9 - x})}^{2} = {(6 - x)}^{2}$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 - x}$ als ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(6 - x)}^{2}$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache ${(2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(6 - x)}^{2}$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.3.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(6 - x)}^{2}$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(6 - x)}^{2}$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(6 - x)}^{2}$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.3.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 (9 - x) = {(6 - x)}^{2}$

$y = \sqrt{9 - x}$

$4 (9 - x) = {(6 - x)}^{2}$

$y = \sqrt{9 - x}$

$4 (9 - x) = {(6 - x)}^{2}$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.3.2.1.4

Vereinfache.

$4 (9 - x) = {(6 - x)}^{2}$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.3.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 9 + 4 (- x) = {(6 - x)}^{2}$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.3.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 2.3.2.1.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$36 + 4 (- x) = {(6 - x)}^{2}$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.3.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$36 - 4 x = {(6 - x)}^{2}$

$y = \sqrt{9 - x}$

$36 - 4 x = {(6 - x)}^{2}$

$y = \sqrt{9 - x}$

$36 - 4 x = {(6 - x)}^{2}$

$y = \sqrt{9 - x}$

$36 - 4 x = {(6 - x)}^{2}$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache ${(6 - x)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Schreibe ${(6 - x)}^{2}$ als $(6 - x) (6 - x)$ um.

$36 - 4 x = (6 - x) (6 - x)$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.3.3.1.2

Multipliziere $(6 - x) (6 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$36 - 4 x = 6 (6 - x) - x (6 - x)$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$36 - 4 x = 6 \cdot 6 + 6 (- x) - x (6 - x)$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$36 - 4 x = 6 \cdot 6 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)$

$y = \sqrt{9 - x}$

$36 - 4 x = 6 \cdot 6 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$36 - 4 x = 36 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$36 - 4 x = 36 - 6 x - x \cdot 6 - x (- x)$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$36 - 4 x = 36 - 6 x - 6 x - x (- x)$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.3.3.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$36 - 4 x = 36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.3.3.1.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.1.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$36 - 4 x = 36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.3.3.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$36 - 4 x = 36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})$

$y = \sqrt{9 - x}$

$36 - 4 x = 36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$36 - 4 x = 36 - 6 x - 6 x + 1 x^{2}$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.3.3.1.3.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$36 - 4 x = 36 - 6 x - 6 x + x^{2}$

$y = \sqrt{9 - x}$

$36 - 4 x = 36 - 6 x - 6 x + x^{2}$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.3.3.1.3.2

Subtrahiere $6 x$ von $- 6 x$ .

$36 - 4 x = 36 - 12 x + x^{2}$

$y = \sqrt{9 - x}$

$36 - 4 x = 36 - 12 x + x^{2}$

$y = \sqrt{9 - x}$

$36 - 4 x = 36 - 12 x + x^{2}$

$y = \sqrt{9 - x}$

$36 - 4 x = 36 - 12 x + x^{2}$

$y = \sqrt{9 - x}$

$36 - 4 x = 36 - 12 x + x^{2}$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$36 - 12 x + x^{2} = 36 - 4 x$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $4 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$36 - 12 x + x^{2} + 4 x = 36$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $- 12 x$ und $4 x$ .

$36 + x^{2} - 8 x = 36$

$y = \sqrt{9 - x}$

$36 + x^{2} - 8 x = 36$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.4.3

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Gleichung.

$36 + x^{2} - 8 x - 36 = 0$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.4.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $36 + x^{2} - 8 x - 36$ .

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Schritt 2.4.4.1

Subtrahiere $36$ von $36$ .

$x^{2} - 8 x + 0 = 0$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.4.4.2

Addiere $x^{2} - 8 x$ und $0$ .

$x^{2} - 8 x = 0$

$y = \sqrt{9 - x}$

$x^{2} - 8 x = 0$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.4.5

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 8 x$ heraus.

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Schritt 2.4.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x - 8 x = 0$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.4.5.2

Faktorisiere $x$ aus $- 8 x$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot - 8 = 0$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.4.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 8$ heraus.

$x (x - 8) = 0$

$y = \sqrt{9 - x}$

$x (x - 8) = 0$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.4.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 8 = 0$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.4.7

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.4.8

Setze $x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.8.1

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.4.8.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

$y = \sqrt{9 - x}$

$x = 8$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.4.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 8) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 8$

$y = \sqrt{9 - x}$

$x = 0, 8$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 2.5

Schließe die Lösungen aus, die $x + 2 \sqrt{9 - x} = 6$ nicht erfüllen.

$x = 0$

$y = \sqrt{9 - x}$

$x = 0$

$y = \sqrt{9 - x}$

Schritt 3

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.1

Ersetze alle $x$ in $y = \sqrt{9 - x}$ durch $0$ .

$y = \sqrt{9 - (0)}$

$x = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $\sqrt{9 - (0)}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = \sqrt{9 + 0}$

$x = 0$

Schritt 3.2.1.2

Addiere $9$ und $0$ .

$y = \sqrt{9}$

$x = 0$

Schritt 3.2.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \sqrt{3^{2}}$

$x = 0$

Schritt 3.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = 3$

$x = 0$

$y = 3$

$x = 0$

$y = 3$

$x = 0$

$y = 3$

$x = 0$

Schritt 4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 3)$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(0, 3)$

Gleichungsform:

$x = 0, y = 3$

Schritt 6