Algebra Beispiele

${(10 x^{2} + 11 x)}^{2} - 15 (10 x^{2} + 11 x) - 54$

Schritt 1

Es sei $u = 10 x^{2} + 11 x$ . Ersetze $u$ für alle $10 x^{2} + 11 x$ .

$u^{2} - 15 u - 54$

Schritt 2

Faktorisiere $u^{2} - 15 u - 54$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 54$ und deren Summe $- 15$ ist.

$- 18, 3$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 18) (u + 3)$

Schritt 3

Ersetze alle $u$ durch $10 x^{2} + 11 x$ .

$(10 x^{2} + 11 x - 18) (10 x^{2} + 11 x + 3)$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 10 \cdot - 18 = - 180$ und deren Summe gleich $b = 11$ ist.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $11$ aus $11 x$ heraus.

$(10 x^{2} + 11 (x) - 18) (10 x^{2} + 11 x + 3)$

Schritt 4.1.2

Schreibe $11$ um als $- 9$ plus $20$

$(10 x^{2} + (- 9 + 20) x - 18) (10 x^{2} + 11 x + 3)$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(10 x^{2} - 9 x + 20 x - 18) (10 x^{2} + 11 x + 3)$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$((10 x^{2} - 9 x) + 20 x - 18) (10 x^{2} + 11 x + 3)$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x (10 x - 9) + 2 (10 x - 9)) (10 x^{2} + 11 x + 3)$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $10 x - 9$ .

$(10 x - 9) (x + 2) (10 x^{2} + 11 x + 3)$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 10 \cdot 3 = 30$ und deren Summe gleich $b = 11$ ist.

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Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere $11$ aus $11 x$ heraus.

$(10 x - 9) (x + 2) (10 x^{2} + 11 (x) + 3)$

Schritt 5.1.1.2

Schreibe $11$ um als $5$ plus $6$

$(10 x - 9) (x + 2) (10 x^{2} + (5 + 6) x + 3)$

Schritt 5.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(10 x - 9) (x + 2) (10 x^{2} + 5 x + 6 x + 3)$

Schritt 5.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(10 x - 9) (x + 2) ((10 x^{2} + 5 x) + 6 x + 3)$

Schritt 5.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(10 x - 9) (x + 2) (5 x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1))$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$(10 x - 9) (x + 2) ((2 x + 1) (5 x + 3))$

Schritt 5.2

Entferne unnötige Klammern.

$(10 x - 9) (x + 2) (2 x + 1) (5 x + 3)$