Algebra Beispiele

$x^{8} - 5 x^{4} + 4 = 0$

Schritt 1

Schreibe $x^{8}$ als ${(x^{4})}^{2}$ um.

${(x^{4})}^{2} - 5 x^{4} + 4 = 0$

Schritt 2

Es sei $u = x^{4}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{4}$ .

$u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} - 5 u + 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $4$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 4, - 1$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 4) (u - 1) = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$(x^{4} - 4) (x^{4} - 1) = 0$

Schritt 5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$({(x^{2})}^{2} - 4) (x^{4} - 1) = 0$

Schritt 6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$({(x^{2})}^{2} - 2^{2}) (x^{4} - 1) = 0$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 2$ .

$(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) (x^{4} - 1) = 0$

Schritt 8

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) ({(x^{2})}^{2} - 1) = 0$

Schritt 9

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 10

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 1$ .

$(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 11

Faktorisiere.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

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Schritt 11.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Schritt 11.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 11.1.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Schritt 11.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 11.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$