Algebra Beispiele

$y = 2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6$

Schritt 1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$y = 2 (x^{4}) + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $8 x^{3}$ heraus.

$y = 2 (x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 4 x^{2} - 8 x - 6$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$y = 2 (x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) - 8 x - 6$

Schritt 1.4

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x$ heraus.

$y = 2 (x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) + 2 (- 4 x) - 6$

Schritt 1.5

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$y = 2 x^{4} + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot - 3$

Schritt 1.6

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{4} + 2 (4 x^{3})$ heraus.

$y = 2 (x^{4} + 4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot - 3$

Schritt 1.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{4} + 4 x^{3}) + 2 (2 x^{2})$ heraus.

$y = 2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot - 3$

Schritt 1.8

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2}) + 2 (- 4 x)$ heraus.

$y = 2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x) + 2 \cdot - 3$

Schritt 1.9

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x) + 2 \cdot - 3$ heraus.

$y = 2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 3)$

Schritt 2

Gruppiere die Terme um.

$y = 2 (4 x^{3} - 4 x + x^{4} + 2 x^{2} - 3)$

Schritt 3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} - 4 x$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$y = 2 (4 x (x^{2}) - 4 x + x^{4} + 2 x^{2} - 3)$

Schritt 3.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 4 x$ heraus.

$y = 2 (4 x (x^{2}) + 4 x (- 1) + x^{4} + 2 x^{2} - 3)$

Schritt 3.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (- 1)$ heraus.

$y = 2 (4 x (x^{2} - 1) + x^{4} + 2 x^{2} - 3)$

Schritt 4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = 2 (4 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} + 2 x^{2} - 3)$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$y = 2 (4 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} + 2 x^{2} - 3)$

Schritt 5.2

Entferne unnötige Klammern.

$y = 2 (4 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} + 2 x^{2} - 3)$

Schritt 6

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$y = 2 (4 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 3)$

Schritt 7

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$y = 2 (4 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} + 2 u - 3)$

Schritt 8

Faktorisiere $u^{2} + 2 u - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $2$ ist.

$- 1, 3$

Schritt 8.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$y = 2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (u + 3))$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$y = 2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (x^{2} + 3))$

Schritt 10

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = 2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 3))$

Schritt 11

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$y = 2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3))$

Schritt 12

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $4 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)$ heraus.

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Schritt 12.1

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $4 x (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$y = 2 ((x + 1) (x - 1) (4 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3))$

Schritt 12.2

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $(x + 1) (x - 1) (4 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)$ heraus.

$y = 2 ((x + 1) (x - 1) (4 x + x^{2} + 3))$

Schritt 13

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$y = 2 ((x + 1) (x - 1) (4 u + u^{2} + 3))$

Schritt 14

Faktorisiere $4 u + u^{2} + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 14.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $4$ ist.

$1, 3$

Schritt 14.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$y = 2 ((x + 1) (x - 1) ((u + 1) (u + 3)))$

Schritt 15

Faktorisiere.

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Schritt 15.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$y = 2 ((x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x + 3)))$

Schritt 15.2

Entferne unnötige Klammern.

$y = 2 ((x + 1) (x - 1) (x + 1) (x + 3))$

Schritt 16

Faktorisiere.

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Schritt 16.1

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 16.1.1

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$y = 2 ({(x + 1)}^{1} (x + 1) (x - 1) (x + 3))$

Schritt 16.1.2

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$y = 2 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1} (x - 1) (x + 3))$

Schritt 16.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = 2 ({(x + 1)}^{1 + 1} (x - 1) (x + 3))$

Schritt 16.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$y = 2 ({(x + 1)}^{2} (x - 1) (x + 3))$

Schritt 16.2

Entferne unnötige Klammern.

$y = 2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (x + 3)$