Algebra Beispiele

${(\frac{1}{27})}^{x^{2}} = 9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln ({(\frac{1}{27})}^{x^{2}}) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Schritt 2

Zerlege $\ln ({(\frac{1}{27})}^{x^{2}})$ durch Herausziehen von $x^{2}$ aus dem Logarithmus.

$x^{2} \ln (\frac{1}{27}) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Schritt 3

Schreibe $\ln (\frac{1}{27})$ als $\ln (1) - \ln (27)$ um.

$x^{2} (\ln (1) - \ln (27)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Schritt 4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x^{2} (0 - \ln (27)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Schritt 5

Schreibe $\ln (27)$ als $\ln (3^{3})$ um.

$x^{2} (0 - \ln (3^{3})) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Schritt 6

Zerlege $\ln (3^{3})$ durch Herausziehen von $3$ aus dem Logarithmus.

$x^{2} (0 - (3 \ln (3))) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Schritt 7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x^{2} (0 - 3 \ln (3)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Schritt 8

Subtrahiere $3 \ln (3)$ von $0$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Schritt 9

Schreibe $\ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$ als $\ln (9^{3 x + 8}) + \ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$ um.

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = \ln (9^{3 x + 8}) + \ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Schritt 10

Zerlege $\ln (9^{3 x + 8})$ durch Herausziehen von $3 x + 8$ aus dem Logarithmus.

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + \ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Schritt 11

Zerlege $\ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$ durch Herausziehen von $x^{2}$ aus dem Logarithmus.

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} \ln (\frac{1}{81})$

Schritt 12

Schreibe $\ln (\frac{1}{81})$ als $\ln (1) - \ln (81)$ um.

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (\ln (1) - \ln (81))$

Schritt 13

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - \ln (81))$

Schritt 14

Schreibe $\ln (81)$ als $\ln (3^{4})$ um.

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - \ln (3^{4}))$

Schritt 15

Zerlege $\ln (3^{4})$ durch Herausziehen von $4$ aus dem Logarithmus.

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - (4 \ln (3)))$

Schritt 16

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - 4 \ln (3))$

Schritt 17

Subtrahiere $4 \ln (3)$ von $0$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Schritt 18

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.1

Vereinfache $x^{2} (- 3 \ln (3))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.1.1

Vereinfache $- 3 \ln (3)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$x^{2} (- \ln (3^{3})) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Schritt 18.1.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$x^{2} (- \ln (27)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Schritt 18.1.1.3

Stelle die Faktoren in $x^{2} (- \ln (27))$ um.

$- x^{2} \ln (27) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Schritt 18.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.1

Vereinfache $(3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} \ln (27) = 3 x \ln (9) + 8 \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Schritt 18.2.1.1.2

Vereinfache $3 \ln (9)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (9^{3}) + 8 \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Schritt 18.2.1.1.3

Vereinfache $8 \ln (9)$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (9^{3}) + \ln (9^{8}) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Schritt 18.2.1.1.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.1.1.4.1

Potenziere $9$ mit $3$ .

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (9^{8}) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Schritt 18.2.1.1.4.2

Potenziere $9$ mit $8$ .

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Schritt 18.2.1.1.5

Vereinfache $- 4 \ln (3)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- \ln (3^{4}))$

Schritt 18.2.1.1.6

Potenziere $3$ mit $4$ .

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- \ln (81))$

Schritt 18.2.1.2

Stelle die Faktoren in $x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- \ln (81))$ um.

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) - x^{2} \ln (81)$

Schritt 18.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- x^{2} \ln (27) - x \ln (729) - \ln (43046721) + x^{2} \ln (81) = 0$

Schritt 18.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 18.5

Setze die Werte $a = - \ln (27) + \ln (81)$ , $b = - \ln (729)$ und $c = - \ln (43046721)$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{\ln (729) \pm \sqrt{{(- \ln (729))}^{2} - 4 \cdot ((- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- \ln (43046721)))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Schritt 18.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.6.1

Wende die Produktregel auf $- \ln (729)$ an.

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} \ln^{2} (729) - 4 \cdot (- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Schritt 18.6.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{1 \ln^{2} (729) - 4 \cdot (- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Schritt 18.6.3

Mutltipliziere $\ln^{2} (729)$ mit $1$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \cdot (- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Schritt 18.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (- 4 (- \ln (27)) - 4 \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Schritt 18.6.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (4 \ln (27) - 4 \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Schritt 18.6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (4 \ln (27) \cdot - 1 - 4 \ln (81) \cdot - 1) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Schritt 18.6.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (- 4 \ln (27) - 4 \ln (81) \cdot - 1) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Schritt 18.6.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (- 4 \ln (27) + 4 \ln (81)) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Schritt 18.6.9

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \ln (27) \ln (43046721) + 4 \ln (81) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Schritt 18.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{\ln (729) + \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \ln (27) \ln (43046721) + 4 \ln (81) \ln (43046721)}}{2 (\ln (27) - \ln (81))}, - \frac{\ln (729) - \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \ln (27) \ln (43046721) + 4 \ln (81) \ln (43046721)}}{2 (\ln (27) - \ln (81))}$

Schritt 19

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

Dezimalform:

$x = 8, - 2$