Algebra Beispiele

$y = \cos (x + \frac{π}{4})$

Schritt 1

Setze $\cos (x + \frac{π}{4})$ gleich $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x + \frac{π}{4} = \arccos (0)$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Schritt 2.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $\frac{π}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.3.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{4}$

Schritt 2.3.5.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 2.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x + \frac{π}{4} = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 2.5.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.5.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.5.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.5.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.5.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 2.5.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $\frac{π}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.5.2.2

Um $\frac{3 π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.5.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.5.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{3 π \cdot 2 - π}{4}$

Schritt 2.5.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{6 π - π}{4}$

Schritt 2.5.2.5.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 2.6

Ermittele die Periode von $\cos (x + \frac{π}{4})$ .

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Schritt 2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.7

Die Periode der Funktion $\cos (x + \frac{π}{4})$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3