Algebra Beispiele

$\sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} = 5$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}}^{3} = 5^{3}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}$ als ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 5^{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 5^{3}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 5^{3}$

Schritt 2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 2)}^{2} = 5^{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $5$ mit $3$ .

${(x - 2)}^{2} = 125$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x - 2 = \pm \sqrt{125}$

Schritt 3.2

Vereinfache $\pm \sqrt{125}$ .

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Schritt 3.2.1

Schreibe $125$ als $5^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $25$ aus $125$ heraus.

$x - 2 = \pm \sqrt{25 (5)}$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x - 2 = \pm \sqrt{5^{2} \cdot 5}$

Schritt 3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x - 2 = \pm 5 \sqrt{5}$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - 2 = 5 \sqrt{5}$

Schritt 3.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5 \sqrt{5} + 2$

Schritt 3.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - 2 = - 5 \sqrt{5}$

Schritt 3.3.4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5 \sqrt{5} + 2$

Schritt 3.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5 \sqrt{5} + 2, - 5 \sqrt{5} + 2$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 5 \sqrt{5} + 2, - 5 \sqrt{5} + 2$

Dezimalform:

$x = 13.18033988 \dots, - 9.18033988 \dots$