Algebra Beispiele

$z^{2} - \frac{3}{4} z = - 80$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Kombiniere $z$ und $\frac{3}{4}$ .

$z^{2} - \frac{z \cdot 3}{4} = - 80$

Schritt 1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $z$ .

$z^{2} - \frac{3 z}{4} = - 80$

Schritt 2

Addiere $80$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z^{2} - \frac{3 z}{4} + 80 = 0$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $4$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 z^{2} + 4 (- \frac{3 z}{4}) + 4 \cdot 80 = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 z}{4}$ in den Zähler.

$4 z^{2} + 4 (\frac{- 3 z}{4}) + 4 \cdot 80 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 z^{2} + 4 (\frac{- 3 z}{4}) + 4 \cdot 80 = 0$

Schritt 3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$4 z^{2} - 3 z + 4 \cdot 80 = 0$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $80$ .

$4 z^{2} - 3 z + 320 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 3$ und $c = 320$ in die Quadratformel ein und löse nach $z$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 320)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$z = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 320}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 320$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$z = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 320}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $320$ .

$z = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 5120}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $5120$ von $9$ .

$z = \frac{3 \pm \sqrt{- 5111}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 5111$ als $- 1 (5111)$ um.

$z = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 5111}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (5111)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5111}$ um.

$z = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5111}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$z = \frac{3 \pm i \sqrt{5111}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$z = \frac{3 \pm i \sqrt{5111}}{8}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$z = \frac{3 + i \sqrt{5111}}{8}, \frac{3 - i \sqrt{5111}}{8}$