Algebra Beispiele

$\sqrt{3} \tan (x) \cot (x) + \sqrt{3} \tan (x) - \cot (x) - 1 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\sqrt{3} \tan (x) \cot (x) + \sqrt{3} \tan (x) - \cot (x) - 1 = 0$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\sqrt{3} \tan (x) (\cot (x) + 1) - (\cot (x) + 1) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $\cot (x) + 1$ .

$(\cot (x) + 1) (\sqrt{3} \tan (x) - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cot (x) + 1 = 0$

$\sqrt{3} \tan (x) - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $\cot (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\cot (x) + 1$ gleich $0$ .

$\cot (x) + 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $\cot (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cot (x) = - 1$

Schritt 3.2.2

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (- 1)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Der genau Wert von $arccot (- 1)$ ist $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 3.2.4

Die Kotangens-Funktion ist im zweiten und vierten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu bestimmen.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 3.2.5.1

Addiere $2 π$ zu $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Schritt 3.2.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{4}$ ist positiv und gleich $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 3.2.6

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 3.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 3.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 3.2.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.2.7

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Setze $\sqrt{3} \tan (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\sqrt{3} \tan (x) - 1$ gleich $0$ .

$\sqrt{3} \tan (x) - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\sqrt{3} \tan (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3} \tan (x) = 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{3} \tan (x) = 1$ durch $\sqrt{3}$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{3} \tan (x) = 1$ durch $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.2.2.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.2.2.3.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 4.2.2.3.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 4.2.2.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.2.2.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.2.2.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.2.2.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.2.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.2.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.2.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.2.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 4.2.2.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.3

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Der genau Wert von $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 4.2.5

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{6}$

Schritt 4.2.6

Vereinfache $π + \frac{π}{6}$ .

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Schritt 4.2.6.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 4.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.6.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 4.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Schritt 4.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.6.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Schritt 4.2.6.3.2

Addiere $6 π$ und $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 4.2.7

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.2.7.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.2.8

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\cot (x) + 1) (\sqrt{3} \tan (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$