Algebra Beispiele

$\sin (x) + \sin (3 x) = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Wende die Dreifachwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (x) - 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) = 0$

Schritt 1.2

Addiere $\sin (x)$ und $3 \sin (x)$ .

$4 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $4 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $4 \sin (x)$ aus $4 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4 \sin (x)$ aus $4 \sin (x)$ heraus.

$4 \sin (x) \cdot 1 - 4 \sin^{3} (x) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4 \sin (x)$ aus $- 4 \sin^{3} (x)$ heraus.

$4 \sin (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) (- \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $4 \sin (x)$ aus $4 \sin (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$4 \sin (x) (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$4 \sin (x) (1^{2} - \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \sin (x)$ .

$4 \sin (x) ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) = 0$

Schritt 2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$1 + \sin (x) = 0$

$1 - \sin (x) = 0$

Schritt 4

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 4.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Setze $1 + \sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $1 + \sin (x)$ gleich $0$ .

$1 + \sin (x) = 0$

Schritt 5.2

Löse $1 + \sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = - 1$

Schritt 5.2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.2.5.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 5.2.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 5.2.6

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.7

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 5.2.7.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 5.2.7.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.7.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.7.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 5.2.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.7.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 5.2.7.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 5.2.7.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 5.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Setze $1 - \sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $1 - \sin (x)$ gleich $0$ .

$1 - \sin (x) = 0$

Schritt 6.2

Löse $1 - \sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin (x) = - 1$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Schritt 6.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (1)$

Schritt 6.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.6

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 6.2.6.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.6.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 6.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.6.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 6.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$