Algebra Beispiele

$\frac{\sqrt{y} + \sqrt{z}}{\sqrt{y} - \sqrt{z}}$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{y} + \sqrt{z}}{\sqrt{y} - \sqrt{z}}$ mit $\frac{\sqrt{y} + \sqrt{z}}{\sqrt{y} + \sqrt{z}}$ .

$\frac{\sqrt{y} + \sqrt{z}}{\sqrt{y} - \sqrt{z}} \cdot \frac{\sqrt{y} + \sqrt{z}}{\sqrt{y} + \sqrt{z}}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{y} + \sqrt{z}}{\sqrt{y} - \sqrt{z}}$ mit $\frac{\sqrt{y} + \sqrt{z}}{\sqrt{y} + \sqrt{z}}$ .

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{(\sqrt{y} - \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}$

Schritt 3

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{{\sqrt{y}}^{2} + \sqrt{y z} - \sqrt{y z} - {\sqrt{z}}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe ${\sqrt{y}}^{2}$ als $y$ um.

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Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{z}}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{z}}^{2}}$

Schritt 4.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{z}}^{2}}$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{z}}^{2}}$

Schritt 4.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y^{1} - {\sqrt{z}}^{2}}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache.

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y - {\sqrt{z}}^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe ${\sqrt{z}}^{2}$ als $z$ um.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{z}$ als $z^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y - {(z^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y - z^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y - z^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y - z^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y - z^{1}}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache.

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y - z}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Potenziere $\sqrt{y} + \sqrt{z}$ mit $1$ .

$\frac{{(\sqrt{y} + \sqrt{z})}^{1} (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y - z}$

Schritt 5.2

Potenziere $\sqrt{y} + \sqrt{z}$ mit $1$ .

$\frac{{(\sqrt{y} + \sqrt{z})}^{1} {(\sqrt{y} + \sqrt{z})}^{1}}{y - z}$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(\sqrt{y} + \sqrt{z})}^{1 + 1}}{y - z}$

Schritt 5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(\sqrt{y} + \sqrt{z})}^{2}}{y - z}$

Schritt 6

Schreibe ${(\sqrt{y} + \sqrt{z})}^{2}$ als $(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})$ um.

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y - z}$

Schritt 7

Multipliziere $(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{y} (\sqrt{y} + \sqrt{z}) + \sqrt{z} (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y - z}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{y} \sqrt{y} + \sqrt{y} \sqrt{z} + \sqrt{z} (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y - z}$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{y} \sqrt{y} + \sqrt{y} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Schritt 8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Multipliziere $\sqrt{y} \sqrt{y}$ .

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Schritt 8.1.1.1

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y} + \sqrt{y} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Schritt 8.1.1.2

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1} + \sqrt{y} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Schritt 8.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sqrt{y}}^{1 + 1} + \sqrt{y} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Schritt 8.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{\sqrt{y}}^{2} + \sqrt{y} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Schritt 8.1.2

Schreibe ${\sqrt{y}}^{2}$ als $y$ um.

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Schritt 8.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{y} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Schritt 8.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{y} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Schritt 8.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{y^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Schritt 8.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Schritt 8.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{1} + \sqrt{y} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Schritt 8.1.2.5

Vereinfache.

$\frac{y + \sqrt{y} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Schritt 8.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{z} \sqrt{y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Schritt 8.1.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{z y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Schritt 8.1.5

Multipliziere $\sqrt{z} \sqrt{z}$ .

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Schritt 8.1.5.1

Potenziere $\sqrt{z}$ mit $1$ .

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{z y} + {\sqrt{z}}^{1} \sqrt{z}}{y - z}$

Schritt 8.1.5.2

Potenziere $\sqrt{z}$ mit $1$ .

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{z y} + {\sqrt{z}}^{1} {\sqrt{z}}^{1}}{y - z}$

Schritt 8.1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{z y} + {\sqrt{z}}^{1 + 1}}{y - z}$

Schritt 8.1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{z y} + {\sqrt{z}}^{2}}{y - z}$

Schritt 8.1.6

Schreibe ${\sqrt{z}}^{2}$ als $z$ um.

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Schritt 8.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{z}$ als $z^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{z y} + {(z^{\frac{1}{2}})}^{2}}{y - z}$

Schritt 8.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{z y} + z^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{y - z}$

Schritt 8.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{z y} + z^{\frac{2}{2}}}{y - z}$

Schritt 8.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{z y} + z^{\frac{2}{2}}}{y - z}$

Schritt 8.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{z y} + z^{1}}{y - z}$

Schritt 8.1.6.5

Vereinfache.

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{z y} + z}{y - z}$

Schritt 8.2

Addiere $\sqrt{y z}$ und $\sqrt{z y}$ .

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Schritt 8.2.1

Stelle $z$ und $y$ um.

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{y z} + z}{y - z}$

Schritt 8.2.2

Addiere $\sqrt{y z}$ und $\sqrt{y z}$ .

$\frac{y + 2 \sqrt{y z} + z}{y - z}$