Algebra Beispiele

$20 > \frac{2}{3} | 6 + x | + 6$

Schritt 1

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$\frac{2}{3} \cdot | 6 + x | + 6 < 20$

Schritt 2

Schreibe $\frac{2}{3} \cdot | 6 + x | + 6 < 20$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$6 + x \geq 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 6$

Schritt 2.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $6 + x$ nicht negativ ist.

$\frac{2}{3} \cdot (6 + x) + 6 < 20$

Schritt 2.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$6 + x < 0$

Schritt 2.5

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x < - 6$

Schritt 2.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $6 + x$ negativ ist.

$\frac{2}{3} \cdot (- (6 + x)) + 6 < 20$

Schritt 2.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} \frac{2}{3} \cdot (6 + x) + 6 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot (- (6 + x)) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Schritt 2.8

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot (6 + x) + 6 < 20$ .

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} \frac{2}{3} \cdot 6 + \frac{2}{3} x + 6 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot (- (6 + x)) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Schritt 2.8.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.8.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

${\begin{cases} \frac{2}{3} \cdot (3 (2)) + \frac{2}{3} x + 6 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot (- (6 + x)) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Schritt 2.8.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${\begin{cases} \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2) + \frac{2}{3} x + 6 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot (- (6 + x)) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Schritt 2.8.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

${\begin{cases} 2 \cdot 2 + \frac{2}{3} x + 6 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot (- (6 + x)) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Schritt 2.8.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${\begin{cases} 4 + \frac{2}{3} x + 6 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot (- (6 + x)) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Schritt 2.8.1.4

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

${\begin{cases} 4 + \frac{2 x}{3} + 6 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot (- (6 + x)) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Schritt 2.8.2

Addiere $4$ und $6$ .

${\begin{cases} \frac{2 x}{3} + 10 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot (- (6 + x)) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Schritt 2.9

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot (- (6 + x)) + 6 < 20$ .

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Schritt 2.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.9.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} \frac{2 x}{3} + 10 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot (- 1 \cdot 6 - x) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Schritt 2.9.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

${\begin{cases} \frac{2 x}{3} + 10 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot (- 6 - x) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Schritt 2.9.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} \frac{2 x}{3} + 10 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot - 6 + \frac{2}{3} (- x) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Schritt 2.9.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.9.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

${\begin{cases} \frac{2 x}{3} + 10 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot (3 (- 2)) + \frac{2}{3} (- x) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Schritt 2.9.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${\begin{cases} \frac{2 x}{3} + 10 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot - 2) + \frac{2}{3} (- x) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Schritt 2.9.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

${\begin{cases} \frac{2 x}{3} + 10 < 20 & x \geq - 6 \\ 2 \cdot - 2 + \frac{2}{3} (- x) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Schritt 2.9.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

${\begin{cases} \frac{2 x}{3} + 10 < 20 & x \geq - 6 \\ - 4 + \frac{2}{3} (- x) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Schritt 2.9.1.6

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

${\begin{cases} \frac{2 x}{3} + 10 < 20 & x \geq - 6 \\ - 4 - \frac{2 x}{3} + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Schritt 2.9.2

Addiere $- 4$ und $6$ .

${\begin{cases} \frac{2 x}{3} + 10 < 20 & x \geq - 6 \\ - \frac{2 x}{3} + 2 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Schritt 3

Löse $\frac{2 x}{3} + 10 < 20$ , wenn $x \geq - 6$ ergibt.

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Schritt 3.1

Löse $\frac{2 x}{3} + 10 < 20$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{2 x}{3} < 20 - 10$

Schritt 3.1.1.2

Subtrahiere $10$ von $20$ .

$\frac{2 x}{3} < 10$

Schritt 3.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{2 x}{3} \cdot 3 < 10 \cdot 3$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{3} \cdot 3 < 10 \cdot 3$

Schritt 3.1.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x < 10 \cdot 3$

Schritt 3.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.2.1

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$2 x < 30$

Schritt 3.1.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x < 30$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x < 30$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{30}{2}$

Schritt 3.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} < \frac{30}{2}$

Schritt 3.1.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{30}{2}$

Schritt 3.1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.4.3.1

Dividiere $30$ durch $2$ .

$x < 15$

Schritt 3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < 15$ und $x \geq - 6$ .

$- 6 \leq x < 15$

Schritt 4

Löse $- \frac{2 x}{3} + 2 < 20$ , wenn $x < - 6$ ergibt.

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Schritt 4.1

Löse $- \frac{2 x}{3} + 2 < 20$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.1.1.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- \frac{2 x}{3} < 20 - 2$

Schritt 4.1.1.2

Subtrahiere $2$ von $20$ .

$- \frac{2 x}{3} < 18$

Schritt 4.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{2 x}{3} < 18$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Teile jeden Term in $- \frac{2 x}{3} < 18$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- \frac{2 x}{3}}{- 1} > \frac{18}{- 1}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{2 x}{3}}{1} > \frac{18}{- 1}$

Schritt 4.1.2.2.2

Dividiere $\frac{2 x}{3}$ durch $1$ .

$\frac{2 x}{3} > \frac{18}{- 1}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.2.3.1

Dividiere $18$ durch $- 1$ .

$\frac{2 x}{3} > - 18$

Schritt 4.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{2 x}{3} \cdot 3 > - 18 \cdot 3$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{3} \cdot 3 > - 18 \cdot 3$

Schritt 4.1.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x > - 18 \cdot 3$

Schritt 4.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.4.2.1

Mutltipliziere $- 18$ mit $3$ .

$2 x > - 54$

Schritt 4.1.5

Teile jeden Ausdruck in $2 x > - 54$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x > - 54$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{- 54}{2}$

Schritt 4.1.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} > \frac{- 54}{2}$

Schritt 4.1.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{- 54}{2}$

Schritt 4.1.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.5.3.1

Dividiere $- 54$ durch $2$ .

$x > - 27$

Schritt 4.2

Bestimme die Schnittmenge von $x > - 27$ und $x < - 6$ .

$- 27 < x < - 6$

Schritt 5

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 27 < x < 15$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 27 < x < 15$

Intervallschreibweise:

$(- 27, 15)$

Schritt 7