Algebra Beispiele

$\cos^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) - \cos (x) + 2 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $\cos^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) - \cos (x) + 2$ .

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Schritt 1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\cos^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) - \cos (x) + 2 = 0$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\cos^{2} (x) (\cos (x) - 2) - (\cos (x) - 2) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $\cos (x) - 2$ .

$(\cos (x) - 2) (\cos^{2} (x) - 1) = 0$

Schritt 1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(\cos (x) - 2) (\cos^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (x)$ und $b = 1$ .

$(\cos (x) - 2) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Schritt 1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(\cos (x) - 2) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) - 2 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $\cos (x) - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\cos (x) - 2$ gleich $0$ .

$\cos (x) - 2 = 0$

Schritt 3.2

Löse $\cos (x) - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) = 2$

Schritt 3.2.2

Der Wertebereich des Cosinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $2$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 4

Setze $\cos (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\cos (x) + 1$ gleich $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\cos (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) = - 1$

Schritt 4.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- 1)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$x = π$

Schritt 4.2.4

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - π$

Schritt 4.2.5

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 4.2.6

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 4.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.7

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Setze $\cos (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\cos (x) - 1$ gleich $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $\cos (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) = 1$

Schritt 5.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.2.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 5.2.5

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 5.2.6

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.7

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\cos (x) - 2) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede Ganzzahl $n$