Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} + 4 x + 4}{40} = \frac{x + 2}{10}$

Schritt 1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{x^{2} + 4 x + 2^{2}}{40} = \frac{x + 2}{10}$

Schritt 1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}{40} = \frac{x + 2}{10}$

Schritt 1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{40} = \frac{x + 2}{10}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

${(x + 2)}^{2} \cdot 10 = 40 (x + 2)$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe $10$ auf die linke Seite von ${(x + 2)}^{2}$ .

$10 {(x + 2)}^{2} = 40 (x + 2)$

Schritt 3.2

Vereinfache $40 (x + 2)$ .

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 {(x + 2)}^{2} = 40 x + 40 \cdot 2$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $40$ mit $2$ .

$10 {(x + 2)}^{2} = 40 x + 80$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $40 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 {(x + 2)}^{2} - 40 x = 80$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$10 ((x + 2) (x + 2)) - 40 x = 80$

Schritt 3.3.2.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) - 40 x = 80$

Schritt 3.3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$10 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) - 40 x = 80$

Schritt 3.3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$10 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 40 x = 80$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$10 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 40 x = 80$

Schritt 3.3.2.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$10 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) - 40 x = 80$

Schritt 3.3.2.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$10 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) - 40 x = 80$

Schritt 3.3.2.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$10 (x^{2} + 4 x + 4) - 40 x = 80$

Schritt 3.3.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$10 x^{2} + 10 (4 x) + 10 \cdot 4 - 40 x = 80$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache.

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Schritt 3.3.2.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $10$ .

$10 x^{2} + 40 x + 10 \cdot 4 - 40 x = 80$

Schritt 3.3.2.5.2

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$10 x^{2} + 40 x + 40 - 40 x = 80$

Schritt 3.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $10 x^{2} + 40 x + 40 - 40 x$ .

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Schritt 3.3.3.1

Subtrahiere $40 x$ von $40 x$ .

$10 x^{2} + 0 + 40 = 80$

Schritt 3.3.3.2

Addiere $10 x^{2}$ und $0$ .

$10 x^{2} + 40 = 80$

Schritt 3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $40$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x^{2} = 80 - 40$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $40$ von $80$ .

$10 x^{2} = 40$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $10 x^{2} = 40$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $10 x^{2} = 40$ durch $10$ .

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{40}{10}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{40}{10}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{40}{10}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Dividiere $40$ durch $10$ .

$x^{2} = 4$

Schritt 3.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 3.7

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 3.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 3.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 3.8

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.8.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 3.8.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 3.8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$