Algebra Beispiele

$\frac{3 x^{2} - 192}{64 - x^{2}} \cdot \frac{4}{x^{2} + 16 x + 64} \div \frac{x + 10}{x^{2} + 18 x + 80}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{3 x^{2} - 192}{64 - x^{2}} \cdot \frac{4}{x^{2} + 16 x + 64} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 192$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (x^{2}) - 192}{64 - x^{2}} \cdot \frac{4}{x^{2} + 16 x + 64} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 192$ heraus.

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot - 64}{64 - x^{2}} \cdot \frac{4}{x^{2} + 16 x + 64} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 \cdot - 64$ heraus.

$\frac{3 (x^{2} - 64)}{64 - x^{2}} \cdot \frac{4}{x^{2} + 16 x + 64} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 2.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{3 (x^{2} - 8^{2})}{64 - x^{2}} \cdot \frac{4}{x^{2} + 16 x + 64} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 8$ .

$\frac{3 (x + 8) (x - 8)}{64 - x^{2}} \cdot \frac{4}{x^{2} + 16 x + 64} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{3 (x + 8) (x - 8)}{8^{2} - x^{2}} \cdot \frac{4}{x^{2} + 16 x + 64} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 8$ und $b = x$ .

$\frac{3 (x + 8) (x - 8)}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{4}{x^{2} + 16 x + 64} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{3 (x + 8) (x - 8)}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{4}{x^{2} + 16 x + 8^{2}} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$16 x = 2 \cdot x \cdot 8$

Schritt 4.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{3 (x + 8) (x - 8)}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{4}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 8 + 8^{2}} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 8$ .

$\frac{3 (x + 8) (x - 8)}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{4}{{(x + 8)}^{2}} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kombinieren.

$\frac{3 (x + 8) (x - 8) \cdot 4}{(8 + x) (8 - x) {(x + 8)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 8$ und ${(x + 8)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x + 8$ aus $3 (x + 8) (x - 8) \cdot 4$ heraus.

$\frac{(x + 8) ((3 (x - 8)) \cdot 4)}{(8 + x) (8 - x) {(x + 8)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $x + 8$ aus $(8 + x) (8 - x) {(x + 8)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 8) ((3 (x - 8)) \cdot 4)}{(x + 8) ((8 + x) (8 - x) (x + 8))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 8) ((3 (x - 8)) \cdot 4)}{(x + 8) ((8 + x) (8 - x) (x + 8))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(3 (x - 8)) \cdot 4}{(8 + x) (8 - x) (x + 8)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 8$ und $8 - x$ .

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{3 (- 1 (- x) - 8) \cdot 4}{(8 + x) (8 - x) (x + 8)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 5.3.2

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$\frac{3 (- 1 (- x) - 1 (8)) \cdot 4}{(8 + x) (8 - x) (x + 8)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (8)$ heraus.

$\frac{3 (- 1 (- x + 8)) \cdot 4}{(8 + x) (8 - x) (x + 8)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 5.3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{3 (- 1 (- x + 8)) \cdot 4}{(8 + x) (- x + 8) (x + 8)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 1 (- x + 8)) \cdot 4}{(8 + x) (- x + 8) (x + 8)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 5.3.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot (- 1) \cdot 4}{(8 + x) (x + 8)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 \cdot 4}{(8 + x) (x + 8)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{- 12}{(8 + x) (x + 8)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- 12}{(x + 8) (x + 8)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 7.2

Potenziere $x + 8$ mit $1$ .

$\frac{- 12}{{(x + 8)}^{1} (x + 8)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 7.3

Potenziere $x + 8$ mit $1$ .

$\frac{- 12}{{(x + 8)}^{1} {(x + 8)}^{1}} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 12}{{(x + 8)}^{1 + 1}} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 12}{{(x + 8)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{12}{{(x + 8)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Schritt 9

Faktorisiere $x^{2} + 18 x + 80$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $80$ und deren Summe $18$ ist.

$8, 10$

Schritt 9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- \frac{12}{{(x + 8)}^{2}} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{x + 10}$

Schritt 10

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 8$ .

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Schritt 10.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{12}{{(x + 8)}^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 12}{{(x + 8)}^{2}} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{x + 10}$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $x + 8$ aus ${(x + 8)}^{2}$ heraus.

$\frac{- 12}{(x + 8) (x + 8)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{x + 10}$

Schritt 10.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 12}{(x + 8) (x + 8)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{x + 10}$

Schritt 10.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 12}{x + 8} \cdot \frac{x + 10}{x + 10}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $\frac{- 12}{x + 8}$ mit $\frac{x + 10}{x + 10}$ .

$\frac{- 12 (x + 10)}{(x + 8) (x + 10)}$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 10$ .

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Schritt 10.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 12 (x + 10)}{(x + 8) (x + 10)}$

Schritt 10.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 12}{x + 8}$

Schritt 10.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{12}{x + 8}$