Algebra Beispiele

$f (x) = 9^{6 (x + 2)}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 9^{6 (x + 2)}$ als Gleichung.

$y = 9^{6 (x + 2)}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 9^{6 (y + 2)}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $9^{6 (y + 2)} = x$ um.

$9^{6 (y + 2)} = x$

Schritt 3.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (9^{6 (y + 2)}) = \ln (x)$

Schritt 3.3

Zerlege $\ln (9^{6 (y + 2)})$ durch Herausziehen von $6 (y + 2)$ aus dem Logarithmus.

$6 (y + 2) \ln (9) = \ln (x)$

Schritt 3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache $6 (y + 2) \ln (9)$ .

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Schritt 3.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(6 y + 6 \cdot 2) \ln (9) = \ln (x)$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$(6 y + 12) \ln (9) = \ln (x)$

Schritt 3.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 y \ln (9) + 12 \ln (9) = \ln (x)$

Schritt 3.5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$6 y \ln (9) + 12 \ln (9) - \ln (x) = 0$

Schritt 3.6

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.6.1

Subtrahiere $12 \ln (9)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 y \ln (9) - \ln (x) = - 12 \ln (9)$

Schritt 3.6.2

Addiere $\ln (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 y \ln (9) = - 12 \ln (9) + \ln (x)$

Schritt 3.7

Teile jeden Ausdruck in $6 y \ln (9) = - 12 \ln (9) + \ln (x)$ durch $6 \ln (9)$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Teile jeden Ausdruck in $6 y \ln (9) = - 12 \ln (9) + \ln (x)$ durch $6 \ln (9)$ .

$\frac{6 y \ln (9)}{6 \ln (9)} = \frac{- 12 \ln (9)}{6 \ln (9)} + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$

Schritt 3.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 y \ln (9)}{6 \ln (9)} = \frac{- 12 \ln (9)}{6 \ln (9)} + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$

Schritt 3.7.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \ln (9)}{\ln (9)} = \frac{- 12 \ln (9)}{6 \ln (9)} + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$

Schritt 3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (9)$ .

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Schritt 3.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (9)}{\ln (9)} = \frac{- 12 \ln (9)}{6 \ln (9)} + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$

Schritt 3.7.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 12 \ln (9)}{6 \ln (9)} + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $6$ .

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Schritt 3.7.3.1.1.1

Faktorisiere $6$ aus $- 12 \ln (9)$ heraus.

$y = \frac{6 (- 2 \ln (9))}{6 \ln (9)} + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$

Schritt 3.7.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.3.1.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 \ln (9)$ heraus.

$y = \frac{6 (- 2 \ln (9))}{6 \ln (9)} + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$

Schritt 3.7.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{6 (- 2 \ln (9))}{6 \ln (9)} + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$

Schritt 3.7.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 2 \ln (9)}{\ln (9)} + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$

Schritt 3.7.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (9)$ .

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Schritt 3.7.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 2 \ln (9)}{\ln (9)} + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$

Schritt 3.7.3.1.2.2

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$y = - 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 9^{6 (x + 2)}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} \cdot 9^{6 (x + 2)}$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 9^{6 (x + 2)} = - 2 + \frac{\ln (9^{6 (x + 2)})}{6 \ln (9)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Zerlege $\ln (9^{6 (x + 2)})$ durch Herausziehen von $6 (x + 2)$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} \cdot 9^{6 (x + 2)} = - 2 + \frac{6 (x + 2) \ln (9)}{6 \ln (9)}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} \cdot 9^{6 (x + 2)} = - 2 + \frac{6 (x + 2) \ln (9)}{6 \ln (9)}$

Schritt 5.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} \cdot 9^{6 (x + 2)} = - 2 + \frac{(x + 2) \ln (9)}{\ln (9)}$

Schritt 5.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (9)$ .

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Schritt 5.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} \cdot 9^{6 (x + 2)} = - 2 + \frac{(x + 2) \ln (9)}{\ln (9)}$

Schritt 5.2.3.3.2

Dividiere $x + 2$ durch $1$ .

$f^{- 1} \cdot 9^{6 (x + 2)} = - 2 + x + 2$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 + x + 2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} \cdot 9^{6 (x + 2)} = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} \cdot 9^{6 (x + 2)} = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}) = 9^{6 ((- 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}) + 2)}$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(- 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}) + 2$ .

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (- 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}) = 9^{6 (0 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)})}$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $0$ und $\frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$ .

$f (- 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}) = 9^{6 (\frac{\ln (x)}{6 \ln (9)})}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache $6 \ln (9)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$f (- 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}) = 9^{6 (\frac{\ln (x)}{\ln (9^{6})})}$

Schritt 5.3.5

Potenziere $9$ mit $6$ .

$f (- 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}) = 9^{6 (\frac{\ln (x)}{\ln (531441)})}$

Schritt 5.3.6

Multipliziere $6 \frac{\ln (x)}{\ln (531441)}$ .

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Schritt 5.3.6.1

Kombiniere $6$ und $\frac{\ln (x)}{\ln (531441)}$ .

$f (- 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}) = 9^{\frac{6 \ln (x)}{\ln (531441)}}$

Schritt 5.3.6.2

Vereinfache $6 \ln (x)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$f (- 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}) = 9^{\frac{\ln (x^{6})}{\ln (531441)}}$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 9^{6 (x + 2)}$ .

$f^{- 1} (x) = - 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$