Algebra Beispiele

$2^{x} + 2^{5 - x} = 12$

Schritt 1

Schreibe $2^{5 - x}$ als $2^{5} \cdot 2^{- x}$ um.

$2^{x} + 2^{5} \cdot 2^{- x} = 12$

Schritt 2

Schreibe $2^{- x}$ als Potenz um.

$2^{x} + 2^{5} \cdot {(2^{x})}^{- 1} = 12$

Schritt 3

Ersetze $2^{x}$ durch $u$ .

$u + 2^{5} \cdot u^{- 1} = 12$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Potenziere $2$ mit $5$ .

$u + 32 \cdot u^{- 1} = 12$

Schritt 4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 32 \cdot \frac{1}{u} = 12$

Schritt 4.3

Kombiniere $32$ und $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{32}{u} = 12$

Schritt 5

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1$

Schritt 5.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 5.2

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{32}{u} = 12$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{32}{u} = 12$ mit $u$ .

$u \cdot u + \frac{32}{u} u = 12 u$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u^{2} + \frac{32}{u} u = 12 u$

Schritt 5.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{2} + \frac{32}{u} u = 12 u$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{2} + 32 = 12 u$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $12 u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} + 32 - 12 u = 0$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $u^{2} + 32 - 12 u$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $32$ und deren Summe $- 12$ ist.

$- 8, - 4$

Schritt 5.3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 8) (u - 4) = 0$

Schritt 5.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 8 = 0$

$u - 4 = 0$

Schritt 5.3.4

Setze $u - 8$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.3.4.1

Setze $u - 8$ gleich $0$ .

$u - 8 = 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 8$

Schritt 5.3.5

Setze $u - 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.3.5.1

Setze $u - 4$ gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 4$

Schritt 5.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 8) (u - 4) = 0$ wahr machen.

$u = 8, 4$

Schritt 6

Setze $8$ für $u$ in $u = 2^{x}$ ein.

$8 = 2^{x}$

Schritt 7

Löse $8 = 2^{x}$ .

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $2^{x} = 8$ um.

$2^{x} = 8$

Schritt 7.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$2^{x} = 2^{3}$

Schritt 7.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 3$

Schritt 8

Setze $4$ für $u$ in $u = 2^{x}$ ein.

$4 = 2^{x}$

Schritt 9

Löse $4 = 2^{x}$ .

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Schritt 9.1

Schreibe die Gleichung als $2^{x} = 4$ um.

$2^{x} = 4$

Schritt 9.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$2^{x} = 2^{2}$

Schritt 9.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 2$

Schritt 10

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = 3, 2$