Algebra Beispiele

$\frac{3 x^{2} - 5 x - 12}{x^{2} - 4 x + 3}$

Schritt 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{3 x^{2} - 5 (x) - 12}{x^{2} - 4 x + 3}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $- 5$ um als $4$ plus $- 9$

$\frac{3 x^{2} + (4 - 9) x - 12}{x^{2} - 4 x + 3}$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} + 4 x - 9 x - 12}{x^{2} - 4 x + 3}$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(3 x^{2} + 4 x) - 9 x - 12}{x^{2} - 4 x + 3}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (3 x + 4) - 3 (3 x + 4)}{x^{2} - 4 x + 3}$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 4$ .

$\frac{(3 x + 4) (x - 3)}{x^{2} - 4 x + 3}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} - 4 x + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 3, - 1$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(3 x + 4) (x - 3)}{(x - 3) (x - 1)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 x + 4) (x - 3)}{(x - 3) (x - 1)}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x + 4}{x - 1}$

Schritt 4

Um die Lücken im Graph zu ermittenl, betrachte die Faktoren im Nenner, die gekürzt wurden.

$x - 3$

Schritt 5

Um die Koordinaten der Lücken zu finden, setze jeden Faktor, der gekürzt wurde, gleich $0$ , löse und substituiere zurück in $\frac{3 x + 4}{x - 1}$ .

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Schritt 5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 5.3

Setze $3$ für $x$ in $\frac{3 x + 4}{x - 1}$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Setze $3$ für $x$ ein, um die $y$ -Koordinate der Lücke zu bestimmen.

$\frac{3 \cdot 3 + 4}{3 - 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9 + 4}{3 - 1}$

Schritt 5.3.2.1.2

Addiere $9$ und $4$ .

$\frac{13}{3 - 1}$

Schritt 5.3.2.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{13}{2}$

Schritt 5.4

Die Lücken im Graph sind die Punkte, bei denen jeder der gekürzten Faktoren gleich $0$ ist.

$(3, \frac{13}{2})$

Schritt 6