Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} + 11 x + 18}{x^{2} + x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \div \frac{x^{2} - 4 x - 12}{36 - x^{2}}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} + 11 x + 18}{x^{2} + x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} + 11 x + 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $18$ und deren Summe $11$ ist.

$2, 9$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x^{2} + x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 3

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x \cdot x + x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x \cdot x + x^{1}} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x \cdot x + x \cdot 1} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x (x + 1)} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x (x + 1)} \cdot \frac{1^{2} - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 5

Faktorisiere $x^{2} + 8 x - 9$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 9$ und deren Summe $8$ ist.

$- 1, 9$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 1) (x + 9)} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Faktorisiere $x + 9$ aus $(x + 2) (x + 9)$ heraus.

$\frac{(x + 9) (x + 2)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 1) (x + 9)} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $x + 9$ aus $(x - 1) (x + 9)$ heraus.

$\frac{(x + 9) (x + 2)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x + 9) (x - 1)} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 9) (x + 2)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x + 9) (x - 1)} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 6.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 2}{x (x + 1)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{x - 1} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{x + 2}{x (x + 1)}$ mit $\frac{(1 + x) (1 - x)}{x - 1}$ .

$\frac{(x + 2) ((1 + x) (1 - x))}{x (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 + x$ und $x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Stelle die Terme um.

$\frac{(x + 2) ((x + 1) (1 - x))}{x (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 2) ((x + 1) (1 - x))}{x (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 6.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 2) (1 - x)}{x (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 - x$ und $x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{(x + 2) (- 1 (- 1) - x)}{x (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 6.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(x + 2) (- 1 (- 1) - (x))}{x (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 6.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 1) - (x)$ heraus.

$\frac{(x + 2) (- 1 (- 1 + x))}{x (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 6.4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{(x + 2) (- 1 (x - 1))}{x (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 6.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 2) (- 1 (x - 1))}{x (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 6.4.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 2) \cdot (- 1)}{x} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 6.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x + 2$ .

$\frac{- 1 \cdot (x + 2)}{x} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 6.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x + 2}{x} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$- \frac{x + 2}{x} \cdot \frac{6^{2} - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 7.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 6$ und $b = x$ .

$- \frac{x + 2}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 8

Faktorisiere $x^{2} - 4 x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 6, 2$

Schritt 8.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- \frac{x + 2}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{(x - 6) (x + 2)}$

Schritt 9

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x + 2}{x}$ in den Zähler.

$\frac{- (x + 2)}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{(x - 6) (x + 2)}$

Schritt 9.1.2

Faktorisiere $x + 2$ aus $- (x + 2)$ heraus.

$\frac{(x + 2) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{(x - 6) (x + 2)}$

Schritt 9.1.3

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x - 6) (x + 2)$ heraus.

$\frac{(x + 2) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{(x + 2) (x - 6)}$

Schritt 9.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 2) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{(x + 2) (x - 6)}$

Schritt 9.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{x - 6}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $\frac{- 1}{x}$ mit $\frac{(6 + x) (6 - x)}{x - 6}$ .

$\frac{- ((6 + x) (6 - x))}{x (x - 6)}$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 - x$ und $x - 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$\frac{- ((6 + x) (- 1 (- 6) - x))}{x (x - 6)}$

Schritt 9.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- ((6 + x) (- 1 (- 6) - (x)))}{x (x - 6)}$

Schritt 9.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 6) - (x)$ heraus.

$\frac{- ((6 + x) (- 1 (- 6 + x)))}{x (x - 6)}$

Schritt 9.3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- (6 + x) (- 1 (x - 6))}{x (x - 6)}$

Schritt 9.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- (6 + x) (- 1 (x - 6))}{x (x - 6)}$

Schritt 9.3.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- (6 + x) \cdot (- 1)}{x}$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 (6 + x)}{x}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $6 + x$ mit $1$ .

$\frac{6 + x}{x}$