Algebra Beispiele

$6 \sqrt{8 a^{2}} = 12$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(6 \sqrt{8 a^{2}})}^{2} = 12^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{8 a^{2}}$ als ${(8 a^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(6 {(8 a^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 12^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(6 {(8 a^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $8 a^{2}$ an.

${(6 (8^{\frac{1}{2}} {(a^{2})}^{\frac{1}{2}}))}^{2} = 12^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(a^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 (8^{\frac{1}{2}} a^{2 (\frac{1}{2})}))}^{2} = 12^{2}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(6 (8^{\frac{1}{2}} a^{2 (\frac{1}{2})}))}^{2} = 12^{2}$

Schritt 2.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(6 (8^{\frac{1}{2}} a^{1}))}^{2} = 12^{2}$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache.

${(6 (8^{\frac{1}{2}} a))}^{2} = 12^{2}$

Schritt 2.2.1.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.2.1.4.1

Wende die Produktregel auf $6 \cdot 8^{\frac{1}{2}} a$ an.

${(6 \cdot 8^{\frac{1}{2}})}^{2} a^{2} = 12^{2}$

Schritt 2.2.1.4.2

Wende die Produktregel auf $6 \cdot 8^{\frac{1}{2}}$ an.

$6^{2} \cdot {(8^{\frac{1}{2}})}^{2} a^{2} = 12^{2}$

Schritt 2.2.1.5

Potenziere $6$ mit $2$ .

$36 \cdot {(8^{\frac{1}{2}})}^{2} a^{2} = 12^{2}$

Schritt 2.2.1.6

Multipliziere die Exponenten in ${(8^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 \cdot 8^{\frac{1}{2} \cdot 2} a^{2} = 12^{2}$

Schritt 2.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$36 \cdot 8^{\frac{1}{2} \cdot 2} a^{2} = 12^{2}$

Schritt 2.2.1.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$36 \cdot 8^{1} a^{2} = 12^{2}$

Schritt 2.2.1.7

Berechne den Exponenten.

$36 \cdot 8 a^{2} = 12^{2}$

Schritt 2.2.1.8

Mutltipliziere $36$ mit $8$ .

$288 a^{2} = 12^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$288 a^{2} = 144$

Schritt 3

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $288 a^{2} = 144$ durch $288$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $288 a^{2} = 144$ durch $288$ .

$\frac{288 a^{2}}{288} = \frac{144}{288}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $288$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{288 a^{2}}{288} = \frac{144}{288}$

Schritt 3.1.2.1.2

Dividiere $a^{2}$ durch $1$ .

$a^{2} = \frac{144}{288}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $144$ und $288$ .

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Schritt 3.1.3.1.1

Faktorisiere $144$ aus $144$ heraus.

$a^{2} = \frac{144 (1)}{288}$

Schritt 3.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.3.1.2.1

Faktorisiere $144$ aus $288$ heraus.

$a^{2} = \frac{144 \cdot 1}{144 \cdot 2}$

Schritt 3.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a^{2} = \frac{144 \cdot 1}{144 \cdot 2}$

Schritt 3.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$a^{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$a = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$a = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.3.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$a = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.3.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$a = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 3.3.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$a = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 3.3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$a = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.3.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.3.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$a = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.3.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$a = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$a = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$a = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$a = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Dezimalform:

$a = 0.70710678 \dots, - 0.70710678 \dots$