Algebra Beispiele

$p (x) = (2 x^{2} + 7 x + 5) (x - 3)$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = (2 x^{2} + 7 x + 5) (x - 3)$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $(2 x^{2} + 7 x + 5) (x - 3) = 0$ um.

$(2 x^{2} + 7 x + 5) (x - 3) = 0$

Schritt 1.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x^{2} + 7 x + 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 1.2.3

Setze $2 x^{2} + 7 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Setze $2 x^{2} + 7 x + 5$ gleich $0$ .

$2 x^{2} + 7 x + 5 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Löse $2 x^{2} + 7 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 5 = 10$ und deren Summe gleich $b = 7$ ist.

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Schritt 1.2.3.2.1.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$2 x^{2} + 7 (x) + 5 = 0$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2

Schreibe $7$ um als $2$ plus $5$

$2 x^{2} + (2 + 5) x + 5 = 0$

Schritt 1.2.3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 2 x + 5 x + 5 = 0$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} + 2 x) + 5 x + 5 = 0$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 x (x + 1) + 5 (x + 1) = 0$

Schritt 1.2.3.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 1$ .

$(x + 1) (2 x + 5) = 0$

Schritt 1.2.3.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x + 5 = 0$

Schritt 1.2.3.2.3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 1.2.3.2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 1.2.3.2.4

Setze $2 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.2.4.1

Setze $2 x + 5$ gleich $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Schritt 1.2.3.2.4.2

Löse $2 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.2.4.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 5$

Schritt 1.2.3.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 1.2.3.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 1.2.3.2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Schritt 1.2.3.2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 1.2.3.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (2 x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, - \frac{5}{2}$

Schritt 1.2.4

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 1.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x^{2} + 7 x + 5) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, - \frac{5}{2}, 3$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 1, 0), (- \frac{5}{2}, 0), (3, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = (2 {(0)}^{2} + 7 (0) + 5) ((0) - 3)$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = (2 \cdot 0^{2} + 7 (0) + 5) ((0) - 3)$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (2 \cdot 0^{2} + 7 (0) + 5) (0 - 3)$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = (2 {(0)}^{2} + 7 (0) + 5) ((0) - 3)$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $(2 {(0)}^{2} + 7 (0) + 5) ((0) - 3)$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = (2 \cdot 0 + 7 (0) + 5) ((0) - 3)$

Schritt 2.2.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = (0 + 7 (0) + 5) ((0) - 3)$

Schritt 2.2.4.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$y = (0 + 0 + 5) ((0) - 3)$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = (0 + 5) ((0) - 3)$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $0$ und $5$ .

$y = 5 ((0) - 3)$

Schritt 2.2.4.2.3

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$y = 5 \cdot - 3$

Schritt 2.2.4.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$y = - 15$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 15)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 1, 0), (- \frac{5}{2}, 0), (3, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 15)$

Schritt 4