Algebra Beispiele

$\frac{4 x^{2} + 3 x - 1}{3 x + 9} \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{4 x^{2} + 3 x - 1}{3 x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{4 x^{2} + 3 (x) - 1}{3 x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $3$ um als $- 1$ plus $4$

$\frac{4 x^{2} + (- 1 + 4) x - 1}{3 x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} - 1 x + 4 x - 1}{3 x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(4 x^{2} - 1 x) + 4 x - 1}{3 x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (4 x - 1) + 1 (4 x - 1)}{3 x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x - 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 1)}{3 x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Schritt 3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 9$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{(4 x - 1) (x + 1)}{3 (x) + 9} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{(4 x - 1) (x + 1)}{3 x + 3 \cdot 3} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot 3$ heraus.

$\frac{(4 x - 1) (x + 1)}{3 (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Schritt 4

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $2$ ist.

$- 1, 3$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(4 x - 1) (x + 1)}{3 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{x^{2} - 1}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(4 x - 1) (x + 1)}{3 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 1)}{3 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $(4 x - 1) (x + 1)$ heraus.

$\frac{(x + 1) (4 x - 1)}{3 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (4 x - 1)}{3 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x - 1}{3 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 1}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $x + 3$ aus $3 (x + 3)$ heraus.

$\frac{4 x - 1}{(x + 3) \cdot 3} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 1}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $x + 3$ aus $(x - 1) (x + 3)$ heraus.

$\frac{4 x - 1}{(x + 3) \cdot 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x - 1}{(x + 3) \cdot 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x - 1}{3} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\frac{4 x - 1}{3}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(4 x - 1) (x - 1)}{3 (x - 1)}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(4 x - 1) (x - 1)}{3 (x - 1)}$

Schritt 6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x - 1}{3}$