Algebra Beispiele

$1 + \frac{5}{a - 1} \leq \frac{7}{6}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{7}{6}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$1 + \frac{5}{a - 1} - \frac{7}{6} \leq 0$

Schritt 2

Vereinfache $1 + \frac{5}{a - 1} - \frac{7}{6}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a - 1}{a - 1} + \frac{5}{a - 1} - \frac{7}{6} \leq 0$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a - 1 + 5}{a - 1} - \frac{7}{6} \leq 0$

Schritt 2.3

Addiere $- 1$ und $5$ .

$\frac{a + 4}{a - 1} - \frac{7}{6} \leq 0$

Schritt 2.4

Um $\frac{a + 4}{a - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{a + 4}{a - 1} \cdot \frac{6}{6} - \frac{7}{6} \leq 0$

Schritt 2.5

Um $- \frac{7}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{a + 4}{a - 1} \cdot \frac{6}{6} - \frac{7}{6} \cdot \frac{a - 1}{a - 1} \leq 0$

Schritt 2.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(a - 1) \cdot 6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $\frac{a + 4}{a - 1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{(a + 4) \cdot 6}{(a - 1) \cdot 6} - \frac{7}{6} \cdot \frac{a - 1}{a - 1} \leq 0$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $\frac{7}{6}$ mit $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{(a + 4) \cdot 6}{(a - 1) \cdot 6} - \frac{7 (a - 1)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Schritt 2.6.3

Stelle die Faktoren von $(a - 1) \cdot 6$ um.

$\frac{(a + 4) \cdot 6}{6 (a - 1)} - \frac{7 (a - 1)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Schritt 2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(a + 4) \cdot 6 - 7 (a - 1)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Schritt 2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a \cdot 6 + 4 \cdot 6 - 7 (a - 1)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Schritt 2.8.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $a$ .

$\frac{6 \cdot a + 4 \cdot 6 - 7 (a - 1)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Schritt 2.8.3

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$\frac{6 \cdot a + 24 - 7 (a - 1)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Schritt 2.8.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 a + 24 - 7 a - 7 \cdot - 1}{6 (a - 1)} \leq 0$

Schritt 2.8.5

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$\frac{6 a + 24 - 7 a + 7}{6 (a - 1)} \leq 0$

Schritt 2.8.6

Subtrahiere $7 a$ von $6 a$ .

$\frac{- a + 24 + 7}{6 (a - 1)} \leq 0$

Schritt 2.8.7

Addiere $24$ und $7$ .

$\frac{- a + 31}{6 (a - 1)} \leq 0$

Schritt 2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- a$ heraus.

$\frac{- (a) + 31}{6 (a - 1)} \leq 0$

Schritt 2.10

Schreibe $31$ als $- 1 (- 31)$ um.

$\frac{- (a) - 1 (- 31)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Schritt 2.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (a) - 1 (- 31)$ heraus.

$\frac{- (a - 31)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Schritt 2.12

Schreibe $- (a - 31)$ als $- 1 (a - 31)$ um.

$\frac{- 1 (a - 31)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Schritt 2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{a - 31}{6 (a - 1)} \leq 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$a - 31 = 0$

$a - 1 = 0$

Schritt 4

Addiere $31$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a = 31$

Schritt 5

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a = 1$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$a = 31$

$a = 1$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$a = 31, 1$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{a - 31}{6 (a - 1)}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{a - 31}{6 (a - 1)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$6 (a - 1) = 0$

Schritt 8.2

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 (a - 1) = 0$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $6 (a - 1) = 0$ durch $6$ .

$\frac{6 (a - 1)}{6} = \frac{0}{6}$

Schritt 8.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 8.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (a - 1)}{6} = \frac{0}{6}$

Schritt 8.2.1.2.1.2

Dividiere $a - 1$ durch $1$ .

$a - 1 = \frac{0}{6}$

Schritt 8.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $6$ .

$a - 1 = 0$

Schritt 8.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a = 1$

Schritt 8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $a$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$a < 1$

$1 < a < 31$

$a > 31$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $a < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $a < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$a = 0$

Schritt 10.1.2

Ersetze $a$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$1 + \frac{5}{(0) - 1} \leq \frac{7}{6}$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $- 4$ ist kleiner als die rechte Seite $1.1\overline{6}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $1 < a < 31$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < a < 31$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$a = 4$

Schritt 10.2.2

Ersetze $a$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$1 + \frac{5}{(4) - 1} \leq \frac{7}{6}$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $2.\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $1.1\overline{6}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $a > 31$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $a > 31$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$a = 34$

Schritt 10.3.2

Ersetze $a$ durch $34$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$1 + \frac{5}{(34) - 1} \leq \frac{7}{6}$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $1.\overline{15}$ ist kleiner als die rechte Seite $1.1\overline{6}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$a < 1$ Wahr

$1 < a < 31$ Falsch

$a > 31$ Wahr

$a < 1$ Wahr

$1 < a < 31$ Falsch

$a > 31$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$a < 1$ oder $a \geq 31$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$a < 1 or a \geq 31$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 1) \cup [31, \infty)$

Schritt 13