Algebra Beispiele

$2 \log (\sqrt{3}) + \log (x - 3) = 3$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \log (\sqrt{3}) + \log (x - 3) = 3$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $2 \log (\sqrt{3}) + \log (x - 3)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Vereinfache $2 \log (\sqrt{3})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log ({\sqrt{3}}^{2}) + \log (x - 3) = 3$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.1.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\log ({(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + \log (x - 3) = 3$

Schritt 2.1.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + \log (x - 3) = 3$

Schritt 2.1.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\log (3^{\frac{2}{2}}) + \log (x - 3) = 3$

Schritt 2.1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (3^{\frac{2}{2}}) + \log (x - 3) = 3$

Schritt 2.1.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\log (3^{1}) + \log (x - 3) = 3$

Schritt 2.1.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\log (3) + \log (x - 3) = 3$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (3 (x - 3)) = 3$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (3 x + 3 \cdot - 3) = 3$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\log (3 x - 9) = 3$

Schritt 3

Schreibe $\log (3 x - 9) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{3} = 3 x - 9$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $3 x - 9 = 10^{3}$ um.

$3 x - 9 = 10^{3}$

Schritt 4.2

Potenziere $10$ mit $3$ .

$3 x - 9 = 1000$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1000 + 9$

Schritt 4.3.2

Addiere $1000$ und $9$ .

$3 x = 1009$

Schritt 4.4

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1009$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1009$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1009}{3}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1009}{3}$

Schritt 4.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1009}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1009}{3}$

Dezimalform:

$x = 336.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 336 \frac{1}{3}$