Algebra Beispiele

Vereinfache $\frac{6 x^{2} - 24}{x^{2} + 9 x + 14} \div \frac{3 x^{2} + 6 x - 24}{x^{2} + 2 x - 35}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{6 x^{2} - 24}{x^{2} + 9 x + 14} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 35}{3 x^{2} + 6 x - 24}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} - 24$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$\frac{6 (x^{2}) - 24}{x^{2} + 9 x + 14} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 35}{3 x^{2} + 6 x - 24}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $6$ aus $- 24$ heraus.

$\frac{6 x^{2} + 6 \cdot - 4}{x^{2} + 9 x + 14} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 35}{3 x^{2} + 6 x - 24}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} + 6 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{6 (x^{2} - 4)}{x^{2} + 9 x + 14} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 35}{3 x^{2} + 6 x - 24}$

Schritt 2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{6 (x^{2} - 2^{2})}{x^{2} + 9 x + 14} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 35}{3 x^{2} + 6 x - 24}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{6 (x + 2) (x - 2)}{x^{2} + 9 x + 14} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 35}{3 x^{2} + 6 x - 24}$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} + 9 x + 14$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $14$ und deren Summe $9$ ist.

$2, 7$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{6 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x + 7)} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 35}{3 x^{2} + 6 x - 24}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x + 7)} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 35}{3 x^{2} + 6 x - 24}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 35}{3 x^{2} + 6 x - 24}$

Schritt 5

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 35$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 35$ und deren Summe $2$ ist.

$- 5, 7$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{6 (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{(x - 5) (x + 7)}{3 x^{2} + 6 x - 24}$

Schritt 6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 6 x - 24$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{6 (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{(x - 5) (x + 7)}{3 (x^{2}) + 6 x - 24}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $3$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{6 (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{(x - 5) (x + 7)}{3 (x^{2}) + 3 (2 x) - 24}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 24$ heraus.

$\frac{6 (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{(x - 5) (x + 7)}{3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot - 8}$

Schritt 6.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 (2 x)$ heraus.

$\frac{6 (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{(x - 5) (x + 7)}{3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 8}$

Schritt 6.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 8$ heraus.

$\frac{6 (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{(x - 5) (x + 7)}{3 (x^{2} + 2 x - 8)}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $2$ ist.

$- 2, 4$

Schritt 6.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{6 (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{(x - 5) (x + 7)}{3 ((x - 2) (x + 4))}$

$\frac{6 (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{(x - 5) (x + 7)}{3 (x - 2) (x + 4)}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 (x - 2)$ .

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $3 (x - 2)$ aus $6 (x - 2)$ heraus.

$\frac{3 (x - 2) (2)}{x + 7} \cdot \frac{(x - 5) (x + 7)}{3 (x - 2) (x + 4)}$

Schritt 7.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x - 2) \cdot 2}{x + 7} \cdot \frac{(x - 5) (x + 7)}{3 (x - 2) (x + 4)}$

Schritt 7.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x + 7} \cdot \frac{(x - 5) (x + 7)}{x + 4}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 7$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $x + 7$ aus $(x - 5) (x + 7)$ heraus.

$\frac{2}{x + 7} \cdot \frac{(x + 7) (x - 5)}{x + 4}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{x + 7} \cdot \frac{(x + 7) (x - 5)}{x + 4}$

Schritt 7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{x - 5}{x + 4}$

Schritt 7.3

Kombiniere $2$ und $\frac{x - 5}{x + 4}$ .

$\frac{2 (x - 5)}{x + 4}$