Algebra Beispiele

$\frac{2 + \sqrt{- 8}}{1 + \sqrt{- 2}}$

Schritt 1

Ziehe die imaginäre Einheit $i$ heraus.

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Schritt 1.1

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$\frac{2 + \sqrt{- 1 (8)}}{1 + \sqrt{- 2}}$

Schritt 1.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$\frac{2 + \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{1 + \sqrt{- 2}}$

Schritt 1.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + \sqrt{- 2}}$

Schritt 1.4

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + \sqrt{- 1 (2)}}$

Schritt 1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (2)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ um.

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}}$

Schritt 1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + i \cdot \sqrt{2}}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{4 (2)}}{1 + i \cdot \sqrt{2}}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{1 + i \cdot \sqrt{2}}$

Schritt 2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 + i \cdot (2 \sqrt{2})}{1 + i \cdot \sqrt{2}}$

Schritt 2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$\frac{2 + 2 i \sqrt{2}}{1 + i \cdot \sqrt{2}}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{2 + 2 i \sqrt{2}}{1 + i \cdot \sqrt{2}}$ mit $\frac{1 - i \cdot \sqrt{2}}{1 - i \cdot \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 + 2 i \sqrt{2}}{1 + i \cdot \sqrt{2}} \cdot \frac{1 - i \cdot \sqrt{2}}{1 - i \cdot \sqrt{2}}$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{2 + 2 i \sqrt{2}}{1 + i \cdot \sqrt{2}}$ mit $\frac{1 - i \cdot \sqrt{2}}{1 - i \cdot \sqrt{2}}$ .

$\frac{(2 + 2 i \sqrt{2}) (1 - i \cdot \sqrt{2})}{(1 + i \cdot \sqrt{2}) (1 - i \cdot \sqrt{2})}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(2 + 2 i \sqrt{2}) (1 - i \cdot \sqrt{2})}{1 - (i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} - i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

$\frac{(2 + 2 i \sqrt{2}) (1 - i \cdot \sqrt{2})}{3}$

Schritt 5

Multipliziere $(2 + 2 i \sqrt{2}) (1 - i \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (1 - i \sqrt{2}) + 2 i \sqrt{2} (1 - i \sqrt{2})}{3}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- i \sqrt{2}) + 2 i \sqrt{2} (1 - i \sqrt{2})}{3}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- i \sqrt{2}) + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}{3}$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 + 2 (- i \sqrt{2}) + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}{3}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 - 2 (i \sqrt{2}) + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}{3}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}{3}$

Schritt 6.1.4

Multipliziere $2 i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$ .

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Schritt 6.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{3}$

Schritt 6.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} - 2 (i^{1} i) \sqrt{2} \sqrt{2}}{3}$

Schritt 6.1.4.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} - 2 (i^{1} i^{1}) \sqrt{2} \sqrt{2}}{3}$

Schritt 6.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} - 2 i^{1 + 1} \sqrt{2} \sqrt{2}}{3}$

Schritt 6.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} - 2 i^{2} \sqrt{2} \sqrt{2}}{3}$

Schritt 6.1.4.6

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} - 2 i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{3}$

Schritt 6.1.4.7

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} - 2 i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{3}$

Schritt 6.1.4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} - 2 i^{2} {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{3}$

Schritt 6.1.4.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} - 2 i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{3}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} - 2 \cdot - 1 {\sqrt{2}}^{2}}{3}$

Schritt 6.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} + 2 {\sqrt{2}}^{2}}{3}$

Schritt 6.1.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} + 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Schritt 6.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Schritt 6.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{3}$

Schritt 6.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{3}$

Schritt 6.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{1}}{3}$

Schritt 6.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} + 2 \cdot 2}{3}$

Schritt 6.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} + 4}{3}$

Schritt 6.2

Addiere $2$ und $4$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} + 6}{3}$

Schritt 6.3

Addiere $- 2 i \sqrt{2}$ und $2 i \sqrt{2}$ .

$\frac{0 + 6}{3}$

Schritt 6.4

Addiere $0$ und $6$ .

$\frac{6}{3}$

Schritt 7

Dividiere $6$ durch $3$ .

$2$