Algebra Beispiele

$\sqrt{x + 5} + 4 \leq 13$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{x + 5}$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\sqrt{x + 5} \leq 13 - 4$

Schritt 1.2

Subtrahiere $4$ von $13$ .

$\sqrt{x + 5} \leq 9$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{x + 5}}^{2} \leq 9^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 5}$ als ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 9^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 9^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 9^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 5)}^{1} \leq 9^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$x + 5 \leq 9^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$x + 5 \leq 81$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \leq 81 - 5$

Schritt 4.2

Subtrahiere $5$ von $81$ .

$x \leq 76$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{x + 5} - 9$ .

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Schritt 5.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x + 5}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 5 \geq 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 5$

Schritt 5.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 5, \infty)$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < 76$

$x > 76$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{(- 8) + 5} + 4 \leq 13$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 76$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 76$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{(0) + 5} + 4 \leq 13$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $6.23606797$ ist kleiner als die rechte Seite $13$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 76$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 76$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 78$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $78$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{(78) + 5} + 4 \leq 13$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $13.11043357$ ist größer als die rechte Seite $13$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 76$ Wahr

$x > 76$ Falsch

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 76$ Wahr

$x > 76$ Falsch

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 5 \leq x \leq 76$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 5 \leq x \leq 76$

Intervallschreibweise:

$[- 5, 76]$

Schritt 10