Algebra Beispiele

$- x^{2} + 50 > - 3 x + 10$

Schritt 1

Addiere $3 x$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} + 50 + 3 x > 10$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- x^{2} + 50 + 3 x = 10$

Schritt 3

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} + 50 + 3 x - 10 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $10$ von $50$ .

$- x^{2} + 3 x + 40 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} + 3 x + 40$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 3 x + 40 = 0$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $3 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 3 x) + 40 = 0$

Schritt 5.1.3

Schreibe $40$ als $- 1 (- 40)$ um.

$- (x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot - 40 = 0$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 3 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 3 x) - 1 \cdot - 40 = 0$

Schritt 5.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 3 x) - 1 (- 40)$ heraus.

$- (x^{2} - 3 x - 40) = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 40$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 40$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 8, 5$

Schritt 5.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 8) (x + 5)) = 0$

Schritt 5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 8) (x + 5) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 7

Setze $x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 8

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 8) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 8, - 5$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < 8$

$x > 8$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- {(- 8)}^{2} + 50 > - 3 \cdot - 8 + 10$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $- 14$ ist nicht größer als die rechte Seite $34$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- {(0)}^{2} + 50 > - 3 \cdot 0 + 10$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $50$ ist größer als die rechte Seite $10$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- {(10)}^{2} + 50 > - 3 \cdot 10 + 10$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $- 50$ ist nicht größer als die rechte Seite $- 20$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 8$ Wahr

$x > 8$ Falsch

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 8$ Wahr

$x > 8$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 5 < x < 8$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 5 < x < 8$

Intervallschreibweise:

$(- 5, 8)$

Schritt 14