Algebra Beispiele

$\sqrt{x - 2} - 1 \leq 0$

Schritt 1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\sqrt{x - 2} \leq 1$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{x - 2}}^{2} \leq 1^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 2}$ als ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 1^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 1^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 1^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 2)}^{1} \leq 1^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$x - 2 \leq 1^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x - 2 \leq 1$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.1

Addiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \leq 1 + 2$

Schritt 4.2

Addiere $1$ und $2$ .

$x \leq 3$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{x - 2} - 1$ .

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Schritt 5.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x - 2}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 \geq 0$

Schritt 5.2

Addiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 2$

Schritt 5.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[2, \infty)$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{(0) - 2} - 1 \leq 0$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2.5$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $2.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{(2.5) - 2} - 1 \leq 0$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $- 0.29289321$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{(6) - 2} - 1 \leq 0$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 2$ Falsch

$2 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

$x < 2$ Falsch

$2 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$2 \leq x \leq 3$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$2 \leq x \leq 3$

Intervallschreibweise:

$[2, 3]$

Schritt 10