Algebra Beispiele

$\log (x + 1) + \log (x - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x + 1) (x - 3)) = \log (6 x^{2} - 6)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x + 1) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x (x - 3) + 1 (x - 3)) = \log (6 x^{2} - 6)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 (x - 3)) = \log (6 x^{2} - 6)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log (x^{2} - 3 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\log (x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\log (x^{2} - 3 x + x - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Schritt 1.3.2

Addiere $- 3 x$ und $x$ .

$\log (x^{2} - 2 x - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} - 2 x - 3 = 6 x^{2} - 6$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $6 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x - 3 - 6 x^{2} = - 6$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $6 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- 5 x^{2} - 2 x - 3 = - 6$

Schritt 3.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 x^{2} - 2 x - 3 + 6 = 0$

Schritt 3.3

Addiere $- 3$ und $6$ .

$- 5 x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x^{2} - 2 x + 3$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$- (5 x^{2}) - 2 x + 3 = 0$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$- (5 x^{2}) - (2 x) + 3 = 0$

Schritt 3.4.1.3

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$- (5 x^{2}) - (2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Schritt 3.4.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x^{2}) - (2 x)$ heraus.

$- (5 x^{2} + 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Schritt 3.4.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x^{2} + 2 x) - 1 (- 3)$ heraus.

$- (5 x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.4.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 3 = - 15$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$- (5 x^{2} + 2 (x) - 3) = 0$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Schreibe $2$ um als $- 3$ plus $5$

$- (5 x^{2} + (- 3 + 5) x - 3) = 0$

Schritt 3.4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (5 x^{2} - 3 x + 5 x - 3) = 0$

Schritt 3.4.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.4.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((5 x^{2} - 3 x) + 5 x - 3) = 0$

Schritt 3.4.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (x (5 x - 3) + 1 (5 x - 3)) = 0$

Schritt 3.4.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x - 3$ .

$- ((5 x - 3) (x + 1)) = 0$

Schritt 3.4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (5 x - 3) (x + 1) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 3.6

Setze $5 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $5 x - 3$ gleich $0$ .

$5 x - 3 = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $5 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 3$

Schritt 3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 3$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 3$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Schritt 3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Schritt 3.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{5}$

Schritt 3.7

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (5 x - 3) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3}{5}, - 1$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log (x + 1) + \log (x - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$