Algebra Beispiele

$\frac{x}{a^{2} - b^{2}} + \frac{3 x}{a - b} < \frac{5}{a + b}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{5}{a + b}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x}{a^{2} - b^{2}} + \frac{3 x}{a - b} - \frac{5}{a + b} < 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x}{a^{2} - b^{2}} + \frac{3 x}{a - b} - \frac{5}{a + b}$ .

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Schritt 2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = b$ .

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x}{a - b} - \frac{5}{a + b} < 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{3 x}{a - b}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x}{a - b} \cdot \frac{a + b}{a + b} - \frac{5}{a + b} < 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(a + b) (a - b)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{3 x}{a - b}$ mit $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x (a + b)}{(a - b) (a + b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Schritt 2.3.2

Stelle die Faktoren von $(a - b) (a + b)$ um.

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + 3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x + 3 x (a + b)$ heraus.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} + 3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Schritt 2.5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot 1 + 3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Schritt 2.5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $3 x (a + b)$ heraus.

$\frac{x \cdot 1 + x (3 (a + b))}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Schritt 2.5.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (3 (a + b))$ heraus.

$\frac{x (1 + 3 (a + b))}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Schritt 2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Schritt 2.6

Um $- \frac{5}{a + b}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a - b}{a - b}$ .

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} \cdot \frac{a - b}{a - b} < 0$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $\frac{5}{a + b}$ mit $\frac{a - b}{a - b}$ .

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 1 + x (3 a) + x (3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Schritt 2.9.2

Vereinfache.

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Schritt 2.9.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x + x (3 a) + x (3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Schritt 2.9.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x + 3 x a + x (3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Schritt 2.9.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Schritt 2.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a - 5 (- b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Schritt 2.9.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} < 0$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten mit $(a + b) (a - b)$ .

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} ((a + b) (a - b)) < 0 ((a + b) (a - b))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache $\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} ((a + b) (a - b))$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(a + b) (a - b)$ .

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Schritt 4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} ((a + b) (a - b)) < 0 ((a + b) (a - b))$

Schritt 4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b < 0 ((a + b) (a - b))$

Schritt 4.1.1.2

Stelle um.

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Schritt 4.1.1.2.1

Bewege $x$ .

$x + 3 a x + 3 x b - 5 a + 5 b < 0 ((a + b) (a - b))$

Schritt 4.1.1.2.2

Bewege $x$ .

$x + 3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b < 0 ((a + b) (a - b))$

Schritt 4.1.1.2.3

Bewege $x$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 ((a + b) (a - b))$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $0 ((a + b) (a - b))$ .

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere $(a + b) (a - b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a (a - b) + b (a - b))$

Schritt 4.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + a (- b) + b (a - b))$

Schritt 4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b))$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)$ .

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Schritt 4.2.1.2.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $a (- b)$ und $b a$ neu an.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a - a b + a b + b (- b))$

Schritt 4.2.1.2.1.2

Addiere $- a b$ und $a b$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + 0 + b (- b))$

Schritt 4.2.1.2.1.3

Addiere $a \cdot a$ und $0$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + b (- b))$

Schritt 4.2.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.2.2.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} + b (- b))$

Schritt 4.2.1.2.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} - b \cdot b)$

Schritt 4.2.1.2.2.3

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.2.2.3.1

Bewege $b$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} - (b \cdot b))$

Schritt 4.2.1.2.2.3.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} - b^{2})$

Schritt 4.2.1.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $a^{2} - b^{2}$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 5.1.1

Addiere $5 a$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$3 a x + 3 b x + 5 b + x < 5 a$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $5 b$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$3 a x + 3 b x + x < 5 a - 5 b$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x$ aus $3 a x + 3 b x + x$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 a x$ heraus.

$x (3 a) + 3 b x + x < 5 a - 5 b$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $x$ aus $3 b x$ heraus.

$x (3 a) + x (3 b) + x < 5 a - 5 b$

Schritt 5.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x (3 a) + x (3 b) + x < 5 a - 5 b$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x (3 a) + x (3 b) + x \cdot 1 < 5 a - 5 b$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $x$ aus $x (3 a) + x (3 b)$ heraus.

$x (3 a + 3 b) + x \cdot 1 < 5 a - 5 b$

Schritt 5.2.6

Faktorisiere $x$ aus $x (3 a + 3 b) + x \cdot 1$ heraus.

$x (3 a + 3 b + 1) < 5 a - 5 b$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $x (3 a + 3 b + 1) < 5 a - 5 b$ durch $3 a + 3 b + 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x (3 a + 3 b + 1) < 5 a - 5 b$ durch $3 a + 3 b + 1$ .

$\frac{x (3 a + 3 b + 1)}{3 a + 3 b + 1} < \frac{5 a}{3 a + 3 b + 1} + \frac{- 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 a + 3 b + 1$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (3 a + 3 b + 1)}{3 a + 3 b + 1} < \frac{5 a}{3 a + 3 b + 1} + \frac{- 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{5 a}{3 a + 3 b + 1} + \frac{- 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x < \frac{5 a - 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $5$ aus $5 a - 5 b$ heraus.

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 a$ heraus.

$x < \frac{5 (a) - 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5 b$ heraus.

$x < \frac{5 (a) + 5 (- b)}{3 a + 3 b + 1}$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (a) + 5 (- b)$ heraus.

$x < \frac{5 (a - b)}{3 a + 3 b + 1}$