Algebra Beispiele

$\frac{2 x - 5}{4 x + 10} \leq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$2 x - 5 = 0$

$4 x + 10 = 0$

Schritt 2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 5$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 4

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 10$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 10$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 10$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 10}{4}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 10}{4}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 10}{4}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$x = \frac{2 (- 5)}{4}$

Schritt 5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 5}{2}$

Schritt 5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = \frac{5}{2}$

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{2 x - 5}{4 x + 10}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x - 5}{4 x + 10}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 x + 10 = 0$

Schritt 8.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 10$

Schritt 8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 10$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 10$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 10}{4}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 10}{4}$

Schritt 8.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 10}{4}$

Schritt 8.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$x = \frac{2 (- 5)}{4}$

Schritt 8.2.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.2.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.2.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 5}{2}$

Schritt 8.2.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{5}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{5}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 5$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (- 5) - 5}{4 (- 5) + 10} \leq 0$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $1.5$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (0) - 5}{4 (0) + 10} \leq 0$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $- 0.5$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{5}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{5}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (5) - 5}{4 (5) + 10} \leq 0$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $0.1\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{5}{2}$ Falsch

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ Wahr

$x > \frac{5}{2}$ Falsch

$x < - \frac{5}{2}$ Falsch

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ Wahr

$x > \frac{5}{2}$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{5}{2} < x \leq \frac{5}{2}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- \frac{5}{2} < x \leq \frac{5}{2}$

Intervallschreibweise:

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}]$

Schritt 13