Algebra Beispiele

$y^{3} - 27 = 9 y^{2} - 27 y$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$9 y^{2} - 27 y = y^{3} - 27$

Schritt 1.2

Subtrahiere $y^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 y^{2} - 27 y - y^{3} = - 27$

Schritt 1.3

Addiere $27$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 y^{2} - 27 y - y^{3} + 27 = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.4.1

Stelle die Terme um.

$- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27 = 0$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.4.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1$

Schritt 1.4.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

Schritt 1.4.2.3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.4.2.3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$- 3^{3} + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

Schritt 1.4.2.3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- 1 \cdot 27 + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

Schritt 1.4.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$- 27 + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

Schritt 1.4.2.3.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- 27 + 9 \cdot 9 - 27 \cdot 3 + 27$

Schritt 1.4.2.3.5

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$- 27 + 81 - 27 \cdot 3 + 27$

Schritt 1.4.2.3.6

Addiere $- 27$ und $81$ .

$54 - 27 \cdot 3 + 27$

Schritt 1.4.2.3.7

Mutltipliziere $- 27$ mit $3$ .

$54 - 81 + 27$

Schritt 1.4.2.3.8

Subtrahiere $81$ von $54$ .

$- 27 + 27$

Schritt 1.4.2.3.9

Addiere $- 27$ und $27$ .

$0$

Schritt 1.4.2.4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $y - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27}{y - 3}$

Schritt 1.4.2.5

Dividiere $- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ durch $y - 3$ .

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Schritt 1.4.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$y$

$3$

$y^{3}$

$9 y^{2}$

$27 y$

$27$

Schritt 1.4.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- y^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

				-	$y^{2}$
	$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$

Schritt 1.4.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$

Schritt 1.4.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- y^{3} + 3 y^{2}$

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$

Schritt 1.4.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$

Schritt 1.4.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$

Schritt 1.4.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 y^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$

Schritt 1.4.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					+	$6 y^{2}$	-	$18 y$

Schritt 1.4.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 y^{2} - 18 y$

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$

Schritt 1.4.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$

Schritt 1.4.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$

Schritt 1.4.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 9 y$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$

Schritt 1.4.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							-	$9 y$	+	$27$

Schritt 1.4.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 9 y + 27$

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							+	$9 y$	-	$27$

Schritt 1.4.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							+	$9 y$	-	$27$
										$0$

Schritt 1.4.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- y^{2} + 6 y - 9$

Schritt 1.4.2.6

Schreibe $- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ als eine Menge von Faktoren.

$(y - 3) (- y^{2} + 6 y - 9) = 0$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.4.3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.4.3.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ und deren Summe gleich $b = 6$ ist.

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Schritt 1.4.3.1.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 y$ heraus.

$(y - 3) (- y^{2} + 6 (y) - 9) = 0$

Schritt 1.4.3.1.1.2

Schreibe $6$ um als $3$ plus $3$

$(y - 3) (- y^{2} + (3 + 3) y - 9) = 0$

Schritt 1.4.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(y - 3) (- y^{2} + 3 y + 3 y - 9) = 0$

Schritt 1.4.3.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.4.3.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(y - 3) ((- y^{2} + 3 y) + 3 y - 9) = 0$

Schritt 1.4.3.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(y - 3) (y (- y + 3) - 3 (- y + 3)) = 0$

Schritt 1.4.3.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- y + 3$ .

$(y - 3) ((- y + 3) (y - 3)) = 0$

Schritt 1.4.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$(y - 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

Schritt 1.4.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.4.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$(- 1 (- y) - 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

Schritt 1.4.4.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$(- 1 (- y) - 1 \cdot 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

Schritt 1.4.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- y) - 1 (3)$ heraus.

$- 1 (- y + 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

Schritt 1.4.4.4

Potenziere $- y + 3$ mit $1$ .

$- 1 ((- y + 3) (- y + 3)) (y - 3) = 0$

Schritt 1.4.4.5

Potenziere $- y + 3$ mit $1$ .

$- 1 ((- y + 3) (- y + 3)) (y - 3) = 0$

Schritt 1.4.4.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1 {(- y + 3)}^{1 + 1} (y - 3) = 0$

Schritt 1.4.4.7

Addiere $1$ und $1$ .

$- 1 {(- y + 3)}^{2} (y - 3) = 0$

Schritt 1.4.4.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$- 1 {(- (y) + 3)}^{2} (y - 3) = 0$

Schritt 1.4.4.9

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$- 1 {(- (y) - 1 \cdot - 3)}^{2} (y - 3) = 0$

Schritt 1.4.4.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (- 3)$ heraus.

$- 1 {(- (y - 3))}^{2} (y - 3) = 0$

Schritt 1.4.4.11

Schreibe $- (y - 3)$ als $- 1 (y - 3)$ um.

$- 1 {(- 1 (y - 3))}^{2} (y - 3) = 0$

Schritt 1.4.4.12

Wende die Produktregel auf $- 1 (y - 3)$ an.

$- 1 ({(- 1)}^{2} {(y - 3)}^{2}) (y - 3) = 0$

Schritt 1.4.4.13

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 (1 {(y - 3)}^{2}) (y - 3) = 0$

Schritt 1.4.4.14

Mutltipliziere ${(y - 3)}^{2}$ mit $1$ .

$- 1 {(y - 3)}^{2} (y - 3) = 0$

Schritt 1.4.4.15

Potenziere $y - 3$ mit $1$ .

$- 1 ((y - 3) {(y - 3)}^{2}) = 0$

Schritt 1.4.4.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1 {(y - 3)}^{1 + 2} = 0$

Schritt 1.4.4.17

Addiere $1$ und $2$ .

$- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$

Schritt 1.5

Teile jeden Ausdruck in $- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- 1 {(y - 3)}^{3}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(y - 3)}^{3}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 1.5.2.2

Dividiere ${(y - 3)}^{3}$ durch $1$ .

${(y - 3)}^{3} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

${(y - 3)}^{3} = 0$

Schritt 1.6

Setze $y - 3$ gleich $0$ .

$y - 3 = 0$

Schritt 1.7

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 3$

Schritt 2

Setze $9 y^{2} - 27 y$ gleich $0$ .

$3 = 0$

Schritt 3

Da $3 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung